【数据结构】树的基本认识_树的基本概念 数据结构

文章目录

前言

一、树的定义及基本术语

1.树的定义

2.基本术语

3.树的性质

二、树的表示（存储结构）

 

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前言

树形结构是一类重要的非线性结构。树形结构是结点之间有分支，并且具有层次关系的结构，类似于大自然中的树。

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一、树的定义及基本术语

1.树的定义

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因
为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

①每个结点有零个或多个子结点；（每个结点有零个或多个后继）

②没有父结点的结点称为根结点；（树中有且只有一个结点，没有前驱，该节点为根结点）

③每一个非根结点有且只有一个父结点；（除根结点外，其余结点有且只有一个直接前驱）

④除了根结点外，每个子结点可以分为多个不相交的子树 。

2.基本术语

结点的度：一个结点中包含的子树的个数称为结点的度，例如：A的度为2，B的度为3，H的度为0

树的度：一棵树中，最大的结点的度，称为树的度，例如：上图树的度为3

结点的层次：从根开始定义，根为第一层，根的子节点为第二层，依次类推

树的深度或高度：树中结点的最大层次，例如：上图树的高度为4

叶结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点。（当一棵树中只有一个结点，这个结点既是根结点也是叶结点）例如：上图的D、F、G、H、I

非终端结点或分支节点：度不为0的结点。例如：B、C、E等

双亲结点或父结点：若一个结点包含子结点，则这个结点称为其子结点的父节点。例如：A是B、C的父节点

孩子结点或子结点：结点的子树的根称为该结点的孩子。例如：B、C是A的孩子

兄弟结点：具有相同父节点的结点互称为兄弟结点：例如B、C是兄弟结点

堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互称为堂兄弟结点。例如F、G为堂兄弟结点

结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点。例如：A是所有结点的祖先

子孙：以某个结点为根的子树中任一结点称为该结点的子孙。例如：所有结点都是A的子孙

森林：由m(m>=0)棵互不相交的树的集合称为森林。

3.树的性质

1.树中的结点数等于所有结点的度数加1。

• 证明：不难想象，除根结点以外，每个结点有且仅有一个指向它的前驱结点。也就是说每个结点和指向它的分支一一对应。 假设树中一共有b个分支，那么除了根结点，整个树就包含有b个结点，所以整个树的结点数就是这b个结点加上根结点，设为n，则n=b+1。而分支数b也就是所有结点的度数，证毕。

2.度为m的树中第i层上至多有m^(i−1)个结点（i≥1）。

• 证明：（数学归纳法） 首先考虑i=1的情况：第一层只有根结点，即一个结点，i=1带入式子满足。 假设第i-1层满足这个性质，第i-1层最多有m i-2个结点。 ……… .......... i-1层 ……… 又因为树的度为m,所以对于第i-1层的每个结点，最多 有m个孩子结点。所以第i层的结点数最多是i-1层的m 倍，所以第i层上最多有m ^(i-1)个结点。

3.高度为h的m叉树至多有(m^h-1)/(m-1)个结点

4.具有n个结点的m叉树的最小高度为logm(n(m-1)+1)

二、树的表示（存储结构）

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。

1.顺序存储结构

• 双亲表示法：用一组连续的存储空间存储树的结点，同时在每个结点中，用一个变量存储该结点的双亲结点在数组中的位置。

2.链式存储结构

• 孩子表示法：把每个结点的孩子结点排列起来存储成一个单链表。所以n个结点就有n个链表； 如果是叶子结点，那这个结点的孩子单链表就是空的； 然后n个单链表的的头指针又存储在一个顺序表（数组）中。

• 孩子兄弟表示法：顾名思义就是要存储孩子和孩子结点的兄弟，具体来说，就是设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子结点和这个孩子结点的右兄弟结点。

孩子表示法：

孩子兄弟表示法演示：

代码如下：

typedef int DataType;
//结点定义
struct Node
{
struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
DataType _data; // 结点中的数据域
};