数学建模：微分方程模型— SIR 传染病模型_sir传染病模型数学建模

模型假设

1. 被研究人群是封闭的, 总人为 $N$，病人、健康人和移出者 (有免疫能力, 移出感染系统的人, 病人治愈后为移出者) 的比例分别为 $i(t),s(t),r(t)$

2. 病人的日接触率 $\lambda$ , 日治愈率 $\mu$, 接触数 $\sigma =\frac{\lambda }{\mu }$

模型建立

$$s(t)+i(t)+r(t)=1,(1)$$

$$N[i(t+\Delta t)-i(t)]=\lambda Ns(t)i(t)\Delta t-\mu Ni(t)\Delta t,(2)$$

$$N[s(t+\Delta t)-s(t)]=-\lambda Ns(t)i(t)\Delta t,(3)$$

$⟹$

$$\{\begin{array}{l}\frac{di}{dt}=\lambda si-\mu i\\ \frac{ds}{dt}=-\lambda si\\ i(0)=i_0,s(0)=s_0\\ i_0+s_0\approx 1\left(\text{ 通常 }r(0)=r_0\text{ 很小 }\right)\end{array}$$

无法求出 $i(t),s(t)$ 的解析解, 在相平面 $s-t$ 上研究解的性质.

相轨线 $i(s)$ 及其分析

消去 $dt$, $\sigma =\frac{\lambda }{\mu }$, $⟹$
$$\{\begin{array}{l}\frac{di}{ds}=\frac{1}{\sigma \cdot s}-1\\ {i|}_{s=s_0}=i_0\end{array}$$

$⟹$ 相轨线:
$$i(s)=\left(s_0+i_0\right)-s+\frac{1}{\sigma }\ln \frac{s}{s_0}$$

定义域 D = { ( s , i ) ∣ s ≥ 0 , i ≥ 0 , s + i ≤ 1 } D=\{(s, i) \mid s \geq 0, i \geq 0, s+i \leq 1\} D={(s,i)∣s≥0,i≥0,s+i≤1}

$s(t)$ 单调减. $t\to \infty$ 时, $i\to 0$. $⟹$ $t\to \infty$ 时
$$s_0+i_0-s_{\infty }+\frac{1}{\sigma }\ln \frac{s_{\infty }}{s_0}=0$$

$P_1:s_0>\frac{1}{\sigma }$ $⟹i(t)$ 先升后降至 $0$ $⟹$ 传染病蔓延;
$P_2:s_0<\frac{1}{\sigma }$ $⟹i(t)$ 单调降至 $0$ $⟹$ 传染病不蔓延.

$\frac{1}{\sigma }$ —— 阈值

预防传染病蔓延的手段

• 提高阈值 $\frac{1}{\sigma }⟹$ 降低 $\sigma \left(=\frac{\lambda }{\mu }\right)⟹\lambda \downarrow ,\mu \uparrow$
  • $\lambda$ (日接触率) $\downarrow ⟹$ 卫生水平 $\uparrow$
  • $\mu$ (日治愈率) $\uparrow$ $⟹$ 医疗水平 $\uparrow$
• 降低 $s_0$ $\stackrel{s_0+i_0+r_0=1}{\Rightarrow }$ 提高 $r_0$ $⟹$ 群体免疫

$\sigma$ 的估计

$s_0+i_0-s_{\infty }+\frac{1}{\sigma }\ln \frac{s_{\infty }}{S_0}=0$, 忽略 $i_0$ $⟹$
$$\sigma =\frac{\ln s_0-\ln s_{\infty }}{s_0-s_{\infty }}$$