计算机视觉基础：矩阵运算

矩阵及其表示方式

一个矩阵是由行(row)和列(column)组成的一个矩形数组，通常包含数字。我们可以用大写字母（如 A、B）来表示一个矩阵。例如，矩阵 A 可能看起来像这样：

A = [ a11 a12 a13 ]
    [ a21 a22 a23 ]
    [ a31 a32 a33 ]

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其中，a11是位于第一行第一列的元素，a12是第一行第二列的元素，以此类推。图像可以被看作是一个巨大的矩阵，其中每个像素点对应矩阵中的一个元素。

矩阵基础运算

• 矩阵加法和减法：矩阵的加减法是对应位置元素相加或相减。例如，如果有两个相同大小的矩阵 A 和 B，它们的加法 A+B 将产生一个新矩阵 C，其中 cij = aij + bij。
• 矩阵数乘：矩阵 A 与一个标量 k 的数乘是将 A 中的每个元素乘以 k。

矩阵乘法

矩阵乘法是线性代数中的一个核心操作，它在图像处理、计算机图形学以及数据科学的许多方面都非常重要。现在，我将更详细地解释矩阵乘法以及如何计算两个矩阵的产品。

矩阵乘法详解

当你乘以两个矩阵时，你其实是在将第一个矩阵的行与第二个矩阵的列组合。对于两个矩阵 A 和 B，矩阵 A 的列数必须等于矩阵 B 的行数才能进行乘法。

我们来逐步分析一下具体的操作步骤：

1. 确认矩阵 A 的列数等于矩阵 B 的行数。
2. 创建结果矩阵 C，其维度将是矩阵 A 的行数乘以矩阵 B 的列数（如果 A 是 m×n 维，B 是 n×p 维，那么 C 是 m×p 维）。
3. 计算矩阵 C 的每个元素 cij。为了找到 cij，你需要取矩阵 A 的第 i 行和矩阵 B 的第 j 列。
4. 将 A 的第 i 行与 B 的第 j 列上的对应元素进行相乘，并将乘积相加。这个总和就是矩阵 C 的元素 cij。

简单举例解释

使用一个 2×3 的矩阵 A 和一个 3×2 的矩阵 B。

A = [ a11 a12 a13 ]     B = [ b11 b12 ]
    [ a21 a22 a23 ]         [ b21 b22 ]
                            [ b31 b32 ]

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令矩阵 A 和 B 为：

A = [ 1 2 3 ]    B = [ 7 8 ]
    [ 4 5 6 ]        [ 9 0 ]
                     [ 1 2 ]

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根据矩阵乘法的规则，我们可以计算矩阵 A 和 B 的乘积 C，结果矩阵 C 的大小将是 2×2。我们现在按步骤计算，并将乘积算式放到结果矩阵 C 中：

C = [ (a11*b11 + a12*b21 + a13*b31) (a11*b12 + a12*b22 + a13*b32) ]
    [ (a21*b11 + a22*b21 + a23*b31) (a21*b12 + a22*b22 + a23*b32) ]

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代入我们给定的矩阵：

C = [ (1*7 + 2*9 + 3*1) (1*8 + 2*0 + 3*2) ]
    [ (4*7 + 5*9 + 6*1) (4*8 + 5*0 + 6*2) ]

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计算得到结果矩阵 C 的每个元素：

C = [ (7 + 18 + 3) (8 + 0 + 6) ]
    [ (28 + 45 + 6) (32 + 0 + 12) ]

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将每个元素中的数值相加：

C = [ 28 14 ]
    [ 79 44 ]

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所以，矩阵 A 和 B 的乘积 C 是：

C = [ 28 14 ]
    [ 79 44 ]

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这就是矩阵乘法的结果。

稍复杂举例解释

我们让矩阵 A 是一个 2×3 的矩阵，矩阵 B 是一个 3×4 的矩阵。下面是 A 和 B 的示例：

A = [ a11 a12 a13 ]     B = [ b11 b12 b13 b14 ]
    [ a21 a22 a23 ]         [ b21 b22 b23 b24 ]
                            [ b31 b32 b33 b34 ]

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由于矩阵 A 的大小是 2×3，矩阵 B 的大小是 3×4，矩阵 A 的列数和矩阵 B 的行数相同，我们可以计算出它们的乘积 C。结果矩阵 C 的大小将是 2×4。

让我们具体计算矩阵 A 和 B 的乘积，并将乘积算式直接写在结果矩阵 C 中。

C = [ (a11*b11 + a12*b21 + a13*b31) (a11*b12 + a12*b22 + a13*b32) (a11*b13 + a12*b23 + a13*b33) (a11*b14 + a12*b24 + a13*b34) ]
    [ (a21*b11 + a22*b21 + a23*b31) (a21*b12 + a22*b22 + a23*b32) (a21*b13 + a22*b23 + a23*b33) (a21*b14 + a22*b24 + a23*b34) ]

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现在，我们来设定具体的数字来完成乘法：

A = [ 1 2 3 ]     B = [ 2 0 1 4 ]
    [ 4 5 6 ]         [ 0 1 3 2 ]
                      [ 7 8 5 6 ]

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计算出结果矩阵 C 的每个元素：

C = [ (1*2 + 2*0 + 3*7) (1*0 + 2*1 + 3*8) (1*1 + 2*3 + 3*5) (1*4 + 2*2 + 3*6) ]
    [ (4*2 + 5*0 + 6*7) (4*0 + 5*1 + 6*8) (4*1 + 5*3 + 6*5) (4*4 + 5*2 + 6*6) ]

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进行计算，我们得到：

C = [ (2 + 0 + 21) (0 + 2 + 24) (1 + 6 + 15) (4 + 4 + 18) ]
    [ (8 + 0 + 42) (0 + 5 + 48) (4 + 15 + 30) (16 + 10 + 36) ]

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将 C 中的每个元素简化：

C = [ 23 26 22 26 ]
    [ 50 53 49 62 ]

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所以，经过计算，我们得到的最终结果矩阵 C 是：

C = [ 23 26 22 26 ]
    [ 50 53 49 62 ]

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这个结果就是我们从矩阵 A 和 B 计算得到的乘积。

练习

假设我们有两个矩阵 A 和 B：

A = [1 2]    B = [5 6]
    [3 4]        [7 8]

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矩阵 A 是一个 2×2 的矩阵，矩阵 B 也是一个 2×2 的矩阵。它们的乘积 AB 将产生另一个 2×2 的矩阵 C。那么 C 就是：

C = [ c11 c12 ]
    [ c21 c22 ]

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我们现在来计算 C 的每一个元素。

• 计算 c11：
  我们取 A 的第一行 [1 2] 和 B 的第一列 [5 7]，
  之后将对应元素相乘并相加：1×5 + 2×7 = 5 + 14 = 19。
• 计算 c12：
  我们取 A 的第一行 [1 2] 和 B 的第二列 [6 8]，
  之后将对应元素相乘并相加：1×6 + 2×8 = 6 + 16 = 22。
• 计算 c21：
  我们取 A 的第二行 [3 4] 和 B 的第一列 [5 7]，
  之后将对应元素相乘并相加：3×5 + 4×7 = 15 + 28 = 43。
• 计算 c22：
  我们取 A 的第二行 [3 4] 和 B 的第二列 [6 8]，
  之后将对应元素相乘并相加：3×6 + 4×8 = 18 + 32 = 50。

所以，矩阵 C 就是：

C = [19 22]
    [43 50]

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这就完成了矩阵 A 和 B 的乘积。

矩阵乘法不符合交换律，也就是说，通常 AB ≠ BA。这是计算矩阵乘积时要特别注意的一点。

理解好矩阵乘法之后，在处理图像时，你会经常用到它来进行变换、过滤和其他操作。希望这个例子能够帮助你理解矩阵乘法的具体过程。

单位矩阵和逆矩阵

• 单位矩阵：是一个特殊的方阵，其所有对角线上的元素都是 1，其余元素都是 0，记为 I。例如：

I = [ 1 0 0 ]
    [ 0 1 0 ]
    [ 0 0 1 ]

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• 逆矩阵：对于一个方阵 A，如果存在另一个方阵 B，使得 AB = BA = I，则我们说 B 是 A 的逆矩阵，记作 A^(-1)。不是所有矩阵都有逆矩阵，只有那些行列式（determinant）不为 0 的方阵才有逆矩阵。

矩阵的转置

转置操作将矩阵的行和列交换位置。对于矩阵 A，它的转置记为 A^T。A 的一个元素 aij 在 A^T 中的位置变成了 aji。

例如，如果有矩阵 A：

A = [ 1 2 ]
    [ 3 4 ]

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那么 A^T 就是：

A^T = [ 1 3 ]
       [ 2 4 ]

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