几何向量：向量乘法（点乘）_一个点能乘以一个向量吗

紧接上一篇：http://blog.csdn.net/yinhun2012/article/details/79415781

上一篇讲了向量的加减分配等计算，那么紧接着就是应该来讲乘除了吧，我们知道普通数值都有加减乘除开方等等计算，比如：

10x10 = 100  

10÷10 = 1

那么向量AxB = ？  A÷B = ？ 

我们知道向量其实是多个数值分量组成的一个集合，那么向量相乘又怎么处理呢？是分量相乘再相加，还是分量相加再相乘？

然后就算给一个向量相乘的规范，那有什么意义呢？能解决什么实际问题？

这里我们从物理上来考虑向量相乘的问题：

这里不得不提一个做功的概念，物理上，我们求力F使物体位移S所做的功W

ps：物理上为什么做功的概念是w = f*s*cosθ，其实是有一个积分推导过程的，百度词条上有推导过程，这里我们暂时不做讨论，等我们图形学所需的数学知识完善后，再去讨论一些后面的物理意义。

这里做功的计算结果，数学上我们称为向量的内积（点积），从第二幅图可以认为向量A和B的内积，等于A在B上的投影长度标量乘B的长度标量。

当然这和计算机图形学有什么关系呢？我们这里又不是学计算机物理引擎，这里我们观察下：

看第一个公式w = Fx*Sx+Fy*Sy，咋一看就是两个平面向量A(Fx,Fy)和B(Sx,Sy)的分量的乘积的和，这个结果和第二个公式W = F*S*cosθ有什么关系呢？如下图：

上面我们通过余弦定理推出A(Xa,Ya),B(Xb,Yb)的点积可以换算成标量的处理，即：

W = |A|*|B|*cosθ = Xa*Xb+Ya*Yb

上面我们就把向量的点积转换成标量的处理了。

既然我们已经推导了平面二维向量的点积，那么接下来推导三维向量的点积。

向量A(Xa,Ya,Za),B(Xb,Yb,Zb)的点积

可以推出：A(Xa,Ya,Za)·B(Xb,Yb,Zb) = Xa*Xb + Ya*Yb + Za*Zb。

接下来程序验证一下：

using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;
 
public class DotMathFunc : MonoBehaviour {
 
    public Transform aHead;
    public Transform aTail;
    public Transform bHead;
    public Transform bTail;
 
	void Start () {
        Vector3 A = aTail.position - aHead.position;
        Vector3 B = bTail.position - bHead.position;
         //用推导公式计算
        float dotAB = A.x * B.x + A.y * B.y + A.z * B.z;
 
        //用api计算
        float apidotAB = Vector3.Dot(A, B);
#if UNITY_EDITOR
        Debug.LogFormat("dotAB = {0} apidotAB = {1}", dotAB, apidotAB);
#endif
    }
	
	
}

以上就是向量点积的理解推导过程

点积呢，在图形学中具体的应用，判断向量夹角，如果点击为0就是垂直角，为正数就是锐角，为负数就是钝角，这应该很好理解，通过A到B的投影A'就能得出

第二就是换算反射reflect函数，在光线反射中会起到很大作用，后面我们会讲