MP算法和OMP算法介绍_为什么mp算法发现的系数矩阵只有第一行数字为零

正交匹配追踪算法是90年代初提出来的，主要目的是将信号在完备的字典库上进行稀疏分解。

1. 信号的稀疏表示(sparse representation of signals)

      预设一个过完备字典矩阵，矩阵每列表示一种原型信号的原子。可将一个信号y表示成这些原子的稀疏线性组合。即 y = Dx ，或者。所谓字典矩阵的过完备性，指的是原子的个数远远大于信号y的长度(其长度很显然是n)，即n<<k，也就是字典的列数远大于字典的行数。

2.MP算法(匹配追踪算法)

2.1 算法描述

       假定被表示的信号是长度为n的列向量，y。H表示Hilbert空间，在这个空间H里，由一组向量构成字典矩阵D，称每个向量为原子(atom)，其长度与被表示信号 y 的长度n相同，而且这些向量已作归一化处理，即|。

       MP算法的基本思想：从字典矩阵D（也称为过完备原子库中），选择一个与信号 y 最匹配的原子(也就是某列)，构建一个稀疏逼近，并求出信号残差，然后继续选择与信号残差最匹配的原子，反复迭代，信号y可以由这些原子的线性和，再加上最后的残差值来表示。如果残差值在可以忽略的范围内，则信号y就是这些原子的线性组合。

       现在的问题是：

        1)如何选择与信号y最匹配的原子？

        2)如何构建稀疏逼近并求残差？

        3)如何进行迭代？

        以下详细介绍使用MP进行信号分解的步骤：

       （1） 计算信号 y 与字典矩阵中每列(原子)的内积，选择绝对值最大的一个原子，它就是与信号 y 在本次迭代运算中最匹配的。用专业术语来描述：令信号，从字典矩阵中选择一个最为匹配的原子，满足，r0 表示一个字典矩阵的列索引。这样，信号 y 就被分解为在最匹配原子的垂直投影分量和残值两部分，即：

。

       （2）对残值R1f进行步骤（1）同样的分解，那么第K步可以得到：

， 

         其中 满足。

         可见，经过K步分解后，信号 y 被分解为：