【笔记整理】通信原理第二章复习——随机信号分析_4、已知能量信号为x(),且该信号的傅里叶变换为x(w),该信号的能量谱密度

随机信号分析

• 确知信号&随机信号
  • 确知信号：取值在任何时间都是确定的和可预知的信号，用函数描述
  • 随机信号：取值不确定且不能事先确切预知的信号，用概率和随机过程描述，用来描述随机过程
• 确定性过程&随机过程
  • 确定性过程：变化过程具有确定的形式，或者说具有必然的变化规律；变化规律可以用一个或几个时间$t$的确定函数来描述
  • 随机过程：没有确定的变化形式，每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律；变化过程不可能用一个或几个时间$t$的确定函数来描述

2.1 确知信号

• 确知信号：取值在任何时间都是确定的和可预知的信号，用函数描述

2.1.1 周期信号&非周期信号

• 周期信号：每隔一定时间（周期）按照相同规律重复且无始无终
  $$s(t)=s(t+T_0)$$
• 非周期信号

2.1.2 能量信号&功率信号

• 能量信号：能量有限信号（平均功率为0）
  • 对于离散信号：满足绝对可和
  • 对于连续信号：满足绝对可积
• 功率信号：功率有限信号（能量为$\infty$）

周期信号是功率信号；
非周期信号中既有功率信号，又有能量信号

2.1.3 确知信号的性质

2.1.3.1 频域性质

信号的频率特性：由其各个频率分量的分布表示，与信号的占用频带宽度和信号的看噪声能力密切相关

2.1.3.1.1 功率信号的频谱

• 周期信号的频谱为傅里叶级数的系数

$$X_n=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-jn{\Omega }_{0}t}dt$$

• 周期功率信号的频谱：离散型，谐波性，收敛性，非周期性
• 周期信号的傅里叶表示：
  $$x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{X}_n{e}^{jn{\Omega }_{0}t}$$
• 周期性方波的频谱是个实函数，频谱图十一些高度不等的离散线条，每根线条的高度代表该频率分量的振幅

2.1.3.1.2 能量信号的频谱密度

• 能量信号的频谱为该信号的傅里叶变换
  $$X(j\Omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-j\Omega t}dt$$

周期功率信号可以当做能量信号看待，引入冲击序列函数后来计算其频谱密度

2.1.3.1.3 能量谱密度

$$E={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2(t)dt=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }{X}^2(j\Omega )d\Omega ={\int }_{-\infty }^{\infty }{X}^2(f)df={\int }_{-\infty }^{\infty }{G}^2(f)df$$
$$G(f)=|X(f){|}^2$$

2.1.3.1.4 功率谱密度

$$P(f)=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}|S_T(f){|}^2$$
则信号功率为：
$$P={\int }_{-\infty }^{\infty }P(f)df$$

2.1.3.1.5 确知信号在时域中的性质

• 自相关函数
  • 能量信号的自相关函数
    $$R(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)x(t+\tau )dt$$
  • 功率信号的自相关函数
    $$R(\tau )=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)x(t+\tau )dt$$
  • 性质
    • $R(\tau )$反映了一个信号与其延迟$\tau$秒后的信号之间的相关程度，它只和$\tau$有关，和$t$无关
    • 当$\tau =0$时，
      • 能量信号的$R(\tau )$等于信号的能量
      • 功率信号的$R(\tau )$等于信号的平均功率
• 互相关函数
  • 能量信号的互相关函数
    $$R_{12}(\tau )={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}_1(t)x_2(t+\tau )dt$$
  • 功率信号的互相关函数
    $$R_{12}(\tau )=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{T}$$