4.2 线性代数linalg模块

linalg是Linear Algebra的缩写，NumPy和SciPy都提供了线性代数函数库linalg，SciPy的线性代数库比NumPy更加全面。

4.2.1 基本运算

linalg包含了许多方阵（包括矩阵）的基本运算函数，scipy.linalg.det()函数计算方阵的行列式，示例代码：

>>> from scipy import linalg
>>> arr = np.array([[1, 2], [3, 4]])
>>> linalg.det(arr)
-2.0
>>> arr = np.array([[3, 2],[6, 4]])
>>> linalg.det(arr) 
0.0
>>> linalg.det(np.ones((3, 4)))        #无论行列式还是逆矩阵只适用于n阶矩阵的求解
Traceback (most recent call last):
...
ValueError: expected square matrix
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scipy.linalg.inv()函数计算方阵的逆，示例代码：

>>> arr = np.array([[1, 2], [3, 4]])
>>> iarr = linalg.inv(arr)
>>> iarr
array([[-2. ,  1. ],
       [ 1.5, -0.5]])
>>>np.allclose(np.dot(arr, iarr), np.eye(2))      #numpy.allclose()函数用于比较两方阵所有对应元素值，如果完全相同返回真(True)，否则返回假(False)
True
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以下计算奇异阵（行列式为0）的逆，其结果将会报错（LinAlgError），示例代码：

>>>arr = np.array([[3, 2], [6, 4]])
>>>linalg.inv(arr)
Traceback (most recent call last):
...
...LinAlgError: singular matrix
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scipy.linalg.norm()函数计算方阵的模，示例代码：

>>>A = np.matrix(np.random.random((2, 2)))
>>>A
>>>linalg.norm(A)
>>>linalg.norm(A, 1)
>>>linalg.norm(A, np.inf)
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4.2.2 解线性方程组

scipy.linalg.solve(A,b)和numpy.linalg.solve(A,b)可以用来解线性方程组Ax=b，即计算x=A^-1b。这里，A是mn的方形矩阵，x和b是长为m的向量。有时候A是固定的，需要对多组b进行求解，因此第二个参数也可以是mn的矩阵B。这样计算出来的X也是m*n的矩阵，相当于计算A^-1B。
在一些矩阵公式中经常会出现类似于A^-1B的运算，它们都可以用solve(A, B)计算，这要比直接逆矩阵然后做矩阵乘法更快捷一些，下面的程序比较solve()和逆矩阵的运算速度，示例代码：

import numpy as np
from scipy import linalg
 
m, n = 500, 50
A = np.random.rand(m, m)
B = np.random.rand(m, n)
X1 = linalg.solve(A, B)
X2 = np.dot(linalg.inv(A), B)
print(np.allclose(X1, X2))
%timeit linalg.solve(A, B)
%timeit np.dot(linalg.inv(A), B)
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4.2.3 特征值和特征向量

n*n的矩阵A可以看作n维空间中的线性变换。若x为n维空间中的一个向量，那么A与x的矩阵乘积就是对x进行线性变换之后的向量。如果x是线性变换的特征向量，那么经过这个线性变换之后，得到的新向量仍然与原来的x保持在同一方向上，但其长度也许会改变。特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例称为特征值。即特征向量x满足如下等式，λ的值可以是一个任意复数：Ax=λx。
下面以二维平面上的线性变换矩阵为例，演示特征值和特征向量的几何含义。通过linalg.eig(A)计算矩阵A的两个特征值evalues和特征向量evectors，在evectors中，每一列是一个特征向量。示例代码：

>>> A = np.array([[1, -0.3], [-0.1, 0.9]])
>>> evalues, evectors = linalg.eig(A)
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