2024 华东杯高校数学建模邀请赛（B题）| 自动驾驶转弯问题 | 建模秘籍&文章代码思路大全_华东杯2024数学建模b题

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问题1：建立描述车辆转弯的数学模型。

假设车辆为一个质点，其受力分析如下：

1. 转弯时车辆受到重力的作用，重力方向垂直于地面向下，大小为$mg$，其中$m$为车辆的质量，$g$为重力加速度。

2. 车辆受到来自地面的支持力$N$，支持力垂直于地面向上，大小等于重力大小$mg$。

3. 车辆前轮受到转向力$F$，转向力的大小由转弯半径$r$和车辆质量$m$决定，可以表示为$F=\frac{m{v}^2}{r}$，其中$v$为车辆的转弯速度。

由以上分析可以得到车辆在转弯过程中受到的合力为：

$$F_{net}=F+N-mg=\frac{m{v}^2}{r}+mg-mg=\frac{m{v}^2}{r}$$

根据牛顿第二定律可以得到车辆的加速度为：

$$a=\frac{F_{net}}{m}=\frac{m{v}^2}{mr}=\frac{v^2}{r}$$

由于车辆的加速度与速度的平方成正比，因此在转弯过程中，车辆的速度越大，转弯半径越小。同时，由于车辆的前轮受到转向力，因此车辆会绕其前轮的转轴旋转，转弯角度与转弯半径和车辆的轴距有关。

假设车辆的轴距为$L$，则车辆转弯的转弯半径可以表示为：

$$r=\frac{L}{\tan \theta }$$

其中$\theta$为车辆前内轮的转弯角度。因此，车辆转弯的加速度可以表示为：

$$a=\frac{v^2}{L\tan \theta }$$

综上所述，可以建立如下数学模型：

$$\{\begin{array}{l}a=\frac{v^2}{L\tan \theta }\\ r=\frac{L}{\tan \theta }\end{array}$$

其中，$a$为车辆的加速度，$v$为车辆的转弯速度，$L$为车辆的轴距，$\theta$为车辆前内轮的转弯角度，$r$为车辆的转弯半径。

问题2：根据问题1的数学模型，给出每隔0.1s车辆的位置，保存到文件result2.xlsx中，文件格式如表B-1所示。

根据问题1中的数学模型，可以得到车辆的转弯加速度和转弯半径的关系为：

$$\{\begin{array}{l}a=\frac{v^2}{L\tan \theta }\\ r=\frac{L}{\tan \theta }\end{array}$$

通过变换可以得到：

$$\tan \theta =\frac{v^2}{aL}$$

因此，可以得到每隔0.1s车辆的转弯角度为：

$$\theta =\arctan \frac{v^2}{aL}$$

根据题目中给出的车辆参数，可以计算出车辆的轴距$L=4m$，转弯速度$v=\frac{20}{3.6}m/s$，转弯加速度$a=\frac{v^2}{r}=\frac{20^2}{4}=100m/s^2$。

因此，根据上述公式可以得到每隔0.1s车辆的转弯角度为：

$$\theta =\arctan \frac{(20/3.6{)}^2}{100\times 4}\approx 0.0913rad\approx 5.23^{\circ }$$

根据题目要求，需要计算出车辆的位置，因此可以使用运动学公式计算车辆的位置。

首先，假设车辆开始转弯时的位置为原点，车头方向为y轴正方向，x轴与车头方向垂直，向右为正方向。

根据题目给出的参数，可以得到车辆前轮和后轮到车头的距离$d=0.5m$。

假设每隔0.1s车辆的速度为$v_i$，则经过0.1s后车辆的位置可以表示为：

$$\{\begin{array}{l}{x}_i=(d+d\tan {\theta }_i)\sin {\theta }_i+v_i\cos {\theta }_i\times 0.1\\ y_i=(d+d\tan {\theta }_i)\cos {\theta }_i+v_i\sin {\theta }_i\times 0.1\end{array}$$

其中${\theta }_i$为第$i$次转弯时的转弯角度，$v_i$为第$i$次转弯时车辆的速度。

因此，可以通过循环计算，每隔0.1s得到车辆的位置坐标，并将其保存到表B-1所示的格式中。

问题3：确定该车前内轮的最大和最小转弯角度，及车辆开始转弯的位置。

根据题目要求，车辆A停在垂直停车位正中，因此可以得到车辆前轮到车头的距离为$2.65m$，车辆后轮到车尾的距离为$2.35m$。

而根据题目中给出的车位宽度为$2.4m$，可以得到车辆的轴距为$4.75m$。

由于车辆开始转弯时，前轮距离车头的距离为0.5m，因此可以得到车辆开始转弯时的位置为$0.5m$。

根据问题2的计算结果，可以得到车辆前内轮的转弯角度为$5.23^{\circ }$，因此可以得到车辆前内轮的最大和最小转弯角度分别为$5.23^{\circ }$和$-5.23^{\circ }$。

综上所述，车辆前内轮的最大和最小转弯角度分别为$5.23^{\circ }$和$-5.23^{\circ }$，车辆开始转弯的位置为$0.5m$。

车辆转弯过程中，车辆的位置可以用如下公式描述：

$$\{\begin{array}{l}x(t)=x_0+R\cdot \sin (\frac{v}{R}\cdot t+\theta )\\ y(t)=y_0+R\cdot \cos (\frac{v}{R}\cdot t+\theta )\end{array}$$

其中，$x_0$和$y_0$为车辆开始转弯时的位置，$R$为转弯半径，$v$为车辆转弯速度，$t$为时间，$\theta$为车辆转弯时的偏转角度。

根据题目中给出的车辆参数，可以计算出车辆的转弯半径为：

R = L 2 ⋅ tan ⁡ ϕ R = \frac{L}{2 \cdot \tan{\phi}}