数据结构（C语言版）——8、树_c语言什么是树形结构

8、树

（1）树的定义

树形结构是一类重要的非线性数据结构，其中以树和二叉树最为常用。直观的看，树是以分支关系定义的层次结构。树是一种一对多的数据结构。
树 （Tree）是 n（n ≥ 0）个结点的有限集。n = 0 时称为空树。在任意一棵非空树中：（1）有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；（2）当 n > 1 时，其余结点可分为 m（m > 0）个互不相交的有限集 T1、T2、……、Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树(Sub Tree)。如下图所示。

上图为一个结点 n =13 的树，其中结点 A 为唯一根结点，其余结点分成 3 个互不相交的子集：T1 = { B，E，F，K，L }，T2 = { C，G}，T3 = { D，H，I，J，M }；T1，T2，T3都是 A 的子树，且本身也是一个树。如下图所示。

另，例如 T1 ，其根为 B ，其余结点又可分为互不相交的子集：T11 = { E，K，L }，T12 = { F }。如下图所示。

即树的结构定义是一个递归的定义，即在树的定义中又用到树的概念，它道出了树的固有特性。

（2）树的基本术语

树的结点包含一个数据元素及若干个指向其子树的分支。

• 结点的度（Degree）：指结点所拥有子树数。如上述的根结点 A 的度为 3。
• 树的度：指树内各结点的度 的最大值。如上述树 A 的度为 3。
• 叶子结点（Leaf）：又称终端结点，指度为 0 的结点。如上述树中结点 K、L、F、G等。
• 分支结点：指度不为 0 的结点，又称非终端结点。如上述树中的结点 A、B、C、D、E、G等。
• 内部结点：指除根结点之外的分支结点。
• 孩子（Child）与双亲（Parent）：某个结点的子树 的根结点称为该结点的孩子；该结点称为这个孩子的双亲。如上述树中，D 是 A 的孩子，A 是 D 的双亲。
• 兄弟（Sibling）：指同一个双亲的孩子之间互称为兄弟。如上述树中，H、I、J互称为兄弟。
• 结点的祖先：指从根结点到该结点所经分支上的所有结点。如上述树中，M 的祖先为 A、D、H。
• 结点的子孙：指以某结点为根的子树中的任一结点都是该结点的子孙。如上述树中，B 的子孙有 E、K、L、F。
• 结点的层次（Level）：从根结点开始，根为第一层，根的孩子为第二层。
• 堂兄弟：其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。如上述树，G、E、F、H、I、J 互为堂兄弟。
• 树的深度（Depth）：树中结点的最大层次称为树的深度，又称为树的高度。上述树 A 的深度为 4。
• 有序树：若将树中结点的个子树看成从左至右是有次序的（不可互换），则称该树为有序树。否则为无序树。在有序树中，最左边的子树的根称为第一个孩子，最右边的称为最后一个孩子。
• 森林（Forest）：指 m （m >= 0）棵互不相交的树的集合。对于树中每一个结点而言，其子树的集合即为森林。
  由此，可以用森林和树相互递归的定义来描述树。即就逻辑结构而言，任何一棵树都是一个二元组 Tree =（root，F），其中 root 是树的根结点，F 是 m 棵树的森林，F = （T1，T2，…，Tm） ，其中 Ti = （ri，Fi）称做根 root 的第 i 棵子树；当 m ！= 0 时，树根与其子树存在关系 RF = { <root，ri> | i = 1,2，…，m，m > 0 }。这个定义将有助于得到森林和树与二叉树之间的转换的递归定义。

（3）二叉树的性质

二叉树（Binary Tree）是一种特殊的有序树。特点是，它的每一个结点至多只有两棵子树（即二叉树中不存在度大于 2 的结点）；并且，二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒。

• 性质 1：在二叉树的第 i 层上至多有 $2^{i-1}$ 个结点 （ $i>=1$）。按照至多的考虑，每层都比上一层多二倍，又第一次为 1 = $2^{}$