动态规划——经典案例分析2_动态规划案例解析

目录

案例四：0-1背包问题

案例五：货郎担问题

案例六：流水线调度问题

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动态规划（Dynamic Programming）是一种解决复杂问题的算法设计思想，通常用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。它将问题分解成多个小问题，通过解决小问题来解决原始问题。

案例分析一：动态规划——经典案例分析

案例四：0-1背包问题

给定一组物品，每个物品有一个重量和一个价值，同时给定一个背包容量限制。目标是选择一些物品放入背包中，使得在满足背包容量限制的前提下，所选择的物品的总价值最大。

方法：可以使用一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示在前 i 个物品中，背包容量为 j 时的最大价值。具体的算法如下：

1. 初始化一个 (n+1)*(W+1) 的二维数组 dp，其中 n 是物品的个数，W 是背包的容量。
2. 逐个遍历物品，对于第 i 个物品：
   • 如果 weights[i] 大于当前背包容量 j，则无法放入背包，dp[i][j] 等于上一个物品在相同容量下的最大价值，即 dp[i-1][j]。
   • 否则，可以选择放入或不放入当前物品。如果选择放入，那么最大价值就是当前物品的价值 values[i] 加上剩余容量下放入前 i-1 个物品的最大价值 dp[i-1][j-weights[i]]；如果选择不放入，那么最大价值就是放入前 i-1 个物品的最大价值 dp[i-1][j]。
   • 取两者中的最大值作为当前状态的最大价值，即 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], values[i] + dp[i-1][j-weights[i]])。
3. 最终的最大价值就是 dp[n][W]。

def knapsack_01(weights, values, W):
    n = len(weights)
    dp = [[0] * (W + 1) for _ in range(n + 1)]
 
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, W + 1):
            if weights[i - 1] > j:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j]
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], values[i - 1] + dp[i - 1][j - weights[i - 1]])
 
    return dp[n][W]
 
# 测试
weights = [2, 3, 4, 5]
values = [3, 4, 5, 6]
W = 5
result = knapsack_01(weights, values, W)
print(result)  # 输出 11

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案例五：货郎担问题

Traveling Salesman Problem，假设有一个货郎要从起始点出发，经过一系列的城市，最终回到起始点。每两个城市之间都有一个距离，货郎希望找到一条路径，使得他经过的城市总距离最短。

方法：货郎担问题是一个NP难问题，没有多项式时间的解法，但可以使用动态规划来近似解决。一种常用的方法是使用状态压缩动态规划。具体的算法如下：

1. 将问题抽象成一个图，其中节点表示城市，边表示城市间的距离。
2. 定义一个二维数组 dp[mask][i]，其中 mask 代表经过的城市的集合（用二进制表示，第 i 位为1表示经过第 i 个城市），i 表示当前所在的城市。
3. 使用状态转移方程进行动态规划：
   • dp[mask][i] = min(dp[mask ^ (1 << j)][j] + distance(i, j))，其中 j 表示未经过的城市，distance(i, j) 表示从城市 i 到城市 j 的距离。
   • 这里的 mask ^ (1 << j) 表示将第 j 位取反，表示加入了城市 j。
   • dp[mask][i] 表示在经过 mask 中的城市后，以 i 为结束城市的最短路径长度。
4. 最终的最短路径长度就是 min(dp[(1 << n) - 1][i] + distance(i, 0))，其中 n 是城市的数量，i 可以是任意一个经过的城市。

def tsp(graph):
    n = len(graph)
    dp = [[float('inf')] * n for _ in range(1 << n)]
    dp[1][0] = 0
 
    for mask in range(1, 1 << n):
        for u in range(n):
            if (mask >> u) & 1:
                for v in range(n):
                    if u != v and (mask >> v) & 1:
                        dp[mask][u] = min(dp[mask][u], dp[mask ^ (1 << u)][v] + graph[v][u])
 
    mask = (1 << n) - 1
    u = 0
    min_dist = min(dp[mask][v] + graph[v][u] for v in range(1, n))
 
    return min_dist
 
# 测试
graph = [
    [0, 29, 20, 21],
    [29, 0, 15, 17],
    [20, 15, 0, 18],
    [21, 17, 18, 0]
]
result = tsp(graph)
print(result)  # 输出 85

在这个例子中，我们使用了状态压缩动态规划来解决货郎担问题。graph 表示城市之间的距离，函数 tsp 返回从起始城市出发，经过所有城市后回到起始城市的最短路径长度。

需要注意的是，货郎担问题是一个组合优化问题，随着城市数量的增加，问题的复杂度会急剧增加，因此实际应用中可能需要使用一些启发式算法来近似解决

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案例六：流水线调度问题

假设有两条流水线，每条流水线有多个工位，产品从第一条流水线的第一个工位开始，然后经过各个工位，最终到达第二条流水线的最后一个工位。每个工位都有一个加工时间，表示在该工位上加工一个产品所需的时间。

另外，产品在两条流水线之间转移的时间也是固定的。目标是找到一条合适的生产路径，使得生产一个产品所需的总时间最短。

方法：可以使用两个数组 T1 和 T2 来记录从起始点到当前工位的最短时间，同时使用两个数组 L1 和 L2 来记录前一条流水线和后一条流水线的前一工位是哪一个。具体的算法如下：

1. 初始化两个数组 T1 和 T2，分别记录第一条流水线和第二条流水线的到达每个工位的最短时间，初始化数组 L1 和 L2 分别记录前一条流水线和后一条流水线的前一工位是哪一个。
2. 逐个遍历各个工位，根据当前工位的加工时间和转移时间，更新 T1 和 T2 数组。
3. 找到总时间最短的最后一个工位，然后根据 L1 和 L2 数组回溯找到最短路径。

def assembly_line_scheduling(a, t, e, x):
    n = len(a)
    T1 = [0] * n
    T2 = [0] * n
    L1 = [0] * n
    L2 = [0] * n
 
    T1[0] = e[0] + a[0][0]
    T2[0] = e[1] + a[1][0]
 
    for i in range(1, n):
        if T1[i - 1] <= T2[i - 1] + t[1][i - 1]:
            T1[i] = T1[i - 1] + a[0][i]
            L1[i] = 1
        else:
            T1[i] = T2[i - 1] + t[1][i - 1] + a[0][i]
            L1[i] = 2
 
        if T2[i - 1] <= T1[i - 1] + t[0][i - 1]:
            T2[i] = T2[i - 1] + a[1][i]
            L2[i] = 2
        else:
            T2[i] = T1[i - 1] + t[0][i - 1] + a[1][i]
            L2[i] = 1
 
    if T1[n - 1] + x[0] <= T2[n - 1] + x[1]:
        F = T1[n - 1] + x[0]
        L = 1
    else:
        F = T2[n - 1] + x[1]
        L = 2
 
    path = [L]
    for i in range(n - 1, 0, -1):
        if L == 1:
            L = L1[i]
        else:
            L = L2[i]
        path.insert(0, L)
 
    return F, path
 
# 测试
a = [[7, 9, 3, 4, 8], [8, 5, 6, 4, 5]]
t = [[2, 3, 1, 3], [2, 1, 2, 2]]
e = [2, 4]
x = [3, 2]
 
min_time, path = assembly_line_scheduling(a, t, e, x)
print(f"最短时间：{min_time}")
print(f"最短路径：{path}")

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