高等数学 —— 无穷小与无穷大_高等数学无穷小与无穷大

一.无穷小

定义1   \, 如果函数$f(x)$当$x\to x_0$（或$x\to \infty$）时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x\to x_0$（或$x\to \infty$）时的无穷小
特别地，以零为极限的数列$x_n$称为$n\to \infty$时的无穷小

注意：这里的无穷小确切的说应该叫做"无穷小量"，它是一个变量。无穷小是我们人为定义的东西
1、无穷小量不是一个数，它是一个变量。
2、无穷小量与自变量的趋势相关。
例如：$x^2,sinx,1-cosx$都是当$x\to 0$时的无穷小量，$\sqrt{1-x}$是当$x\to 1$时的无穷小量

注意 &ThinSpace; \, 不要把无穷小与很小的数（例如百万分之一）混为一谈，因为无穷小是这样的函数，在$x\to x_0$（或$x\to \infty$）的过程中，这函数的绝对值能小于任意给定的正数$\epsilon$，而很小的数如百万分之一，就不能小于这个给定的$\epsilon$。但零是可以作为无穷小的唯一的常数，因为如果$f(x)\equiv 0$，那么对于任意给定的$\epsilon >0$总有$|f(x)|<\epsilon$

下面的定理说明无穷小与函数极限的关系

定理1 &ThinSpace; \, 在自变量的同一变化过程$x\to x_0$（或$x\to \infty$）中，函数$f(x)$具有极限A的充分必要条件是$f(x)=A+\alpha$，其中$\alpha$是无穷小

二.无穷大

如果当$x\to x_0$（或$x\to \infty$）时，对应的函数值的绝对值$|f(x)|$可以大于预先指定的任何很大的正数$M$，那么就称函数$f(x)$是当$x\to x_0$（或$x\to \infty$）时的无穷大。精确地说，就是

定义2 &ThinSpace; \, 设函数$f(x)$在$x_0$的某一去心邻域内有定义（或$|x|$大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数$M$（不论它多么大），总存在正数$\delta$（或正数$X$），只要$x$适合不等式$0<|x-x_0|<\delta$（或$|x|>X$），对应的函数值$f(x)$总满足不等式
$$|f(x)|>M$$
那么称函数$f(x)$是当$x\to x_0$（或$x\to \infty$）时的无穷大

按函数极限的定义来说，当$x\to x_0$（或$x\to \infty$）时的无穷大的函数$f(x)$的极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的这一性态，我们也说"函数的极限是无穷大"，并记作
$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty (或\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\infty )$$
如果在无穷大的定义中，把$|f(x)|>M$换成$f(x)>M$（或$f(x)<-M$）,就记作

必须注意，无穷大（$\infty$）不是数，不可与很大的数（如1千万、1亿等）混为一谈。

一般地说，如果$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty$，那么直线$x=x_0$是函数$y=f(x)$的图形的铅直渐近线。

无穷大与无穷小之间有一种简单地关系，即

定理2 &ThinSpace; \, 在自变量的同一变化过程中，如果$f(x)$为无穷大，那么$\frac{1}{f(x)}$为无穷小；反之，如果$f(x)$为无穷小，且$f(x)̸=0$，那么$\frac{1}{f(x)}$为无穷大