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2024年第五届“华数杯”全国大学生数学建模竞赛 C题详细思路+详细matlab代码+优秀论文范例
作者：一键难忘520 | 2024-08-06 17:56:27
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华数杯
没有更新完之前，专栏价格为59，更新完毕之后恢复到99. 专栏内包含2024年所有数学建模比赛思路和代码，有些重要比赛着重更新（华数杯、国赛、美赛），小比赛可能会有chatgpt4更新，只需订阅一次。有些文章没有完整代码，请到专栏内查找最新代码和思路。如果比赛结束后没有更新代码（可能会有事情来不及更新）赛后我会统一退款。
2024年第五届“华数杯”专栏地址：
2024 年华数杯全国大学生数学建模竞赛 C 题 老外游中国 第一份详细代码。-CSDN博客https://blog.csdn.net/m0_52343631/category_12482955.html?spm=1001.2014.3001.5482
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2021年数学建模优秀范文
摘 要
电动汽车的无线充电是一个涉及现场环境、充电效率、结构设计等多方面的复杂问
题。由于生产电动汽车的厂家越来越多，不同厂家生产的电动汽车与充电设备的“互通
互用”问题一直是阻碍电动汽车发展与推广的因素之一。因此，本文基于
基尔霍夫定律
和
诺伊曼公式
，对电动汽车无线充电系统进行建模，并使用
Matlab
软件利用
递归遍历
算法
对模型进行求解，为无线充电系统的设计提供了理论依据，计算了系统中各参数对
于传输效率的
动态影响
。
问题
1
，利用因子分析思想，基于基尔霍夫定律和电磁学基本理论，引入
A
参数、
电流电压传输函数、品质因子和耦合系数等概念，确定无线充电设备在受特定约束条件
下的无线充电模型。并对模型进行分析，求解出传输效率的目标函数。利用
matlab
软件
对无线充电传能模型进行积分和微分方程求解，得到所提供的十次无线充电试验的电能
传输效率，分别为
56.20%
，
54.88%
，
52.90%
，
50.79%
，
48.39%
，
47.05%
，
46.02%
，
43.65%
，
42.93%
，
41.97%
。
问题
2
，在现实使用中，无线充电车载部分与地面部分的垂直距离可能为规定内的
任意值。针对这一现象，在问题
1
的基础上引入了两线圈垂直距离作为进一步约束的条
件。经过建模分析，发现线圈间距只对线圈的互感产生影响。利用
诺伊曼公式
和
电偶极
子的赫兹矢量积分思想
，建立线圈间距对线圈互感影响的数学模型，对数学模型利用
matlab
进行非线性优化后与问题一得到的模型融合，得到了相应的加入两线圈距离影响
的 无 线 充 电 传 能 模 型 。 针 对 第 一 次 实 验 的 条 件 进 行 求 解 ， 得 出 线 圈 距 离 为
100mm,150mm,200mm
和
250mm
时无线充电的传输效率分别为：
55.959%
，
54.012%
，
51.269%
，
47.609%
。对结果进行分析，得到不考虑额外条件在距离因素影响下电动汽车
的无线充电传能效率会随着线圈距离的增加而降低的结论。
问题
3
，与问题
2
类似，我们将发射频率和发射线圈电感视为变量，而将两线圈垂
直距离视为定值。基于此
x
建立了针对无线充电传能效率的多约束单目标求解模型。本
文采用了
递归遍历算法
对求解模型进行求解以求得最优解。根据求解结果可知，在所给
发射频率和发射线圈电感调节范围内，当发射频率为
100kHz
，匹配阻抗为
200uH
时该
系统的无线充电传能效率达到最大值，为
92.7698%
。
问题
4
，在问题
3
基础上增加两线圈径向距离影响，经过建模分析，发现径向距离
只对线圈的互感产生影响。利用
诺伊曼公式
和
电偶极子的赫兹矢量积分思想
，建立线圈
径向距离对线圈互感影响的数学模型，对数学模型利用
matlab
进行非线性优化后与问
题一得到的模型融合，得到了相应的加入两线圈距离影响的无线充电传能模型。使用
递
归遍历算法
对模型进行计算，筛选符合传输效率满足要求的线圈径向距离。最终得到最
高传输效率大于
80%
时，线圈径向距离也就是偏离距离
a
最大值为
30.68cm
。
关键词：无线充电 磁耦合谐振 基尔霍夫定律 诺伊曼公式 赫兹矢量积分 递归遍历
一、问题重述
1.1
问题背景
电动汽车因其自身的各种优点深受大众喜爱。在其走入千家万户的过程中，充电方
式的问题暴露在大众面前并成为急需解决的问题。为了进行快速、安全、方便的充电，
研发者通过对目前主流的无线充电方式的非车载部分进行优化，努力使无线充电设备从
“专车专用“到能与不同厂家不同型号的电动汽车之间实现互联互通。
该问题具有如下特征以及要求：
（
1
） 电动汽车的无线充电系统是由车载部分与非车载部分组成的。
（
2
） 无线充电系统的车载部分等效为由一个
RLC
电路与负载组成，非车载部分
等效为由另一个
RLC
电路以及电源组成。
（
3
） 车载部分与非车载部分之间通过电感元件耦合产生的磁场来传输电能。
（
4
） 假设电感元件相互之间的互感仅仅与距离相关。
1.2
求解问题
本文根据问题描述，建立相关的数学模型解决下述问题：
问题一：当发射和接收线圈垂直射影完全重合并且两线圈完全谐振下，建立数学模
型以表述两线圈间发射频率、匹配阻抗与无线电能传输效率。根据所建数学模型计算所
提供的无线充电实验的电能传输效率。
问题二：当电动汽车进行无线充电时受车型、地形等影响，两线圈距离无法保证固
定值。所以在第一问所建模型的基础上，引入两线圈的距离条件，建立发射频率、匹配
阻抗、两线圈距离与无线电能传输效率的数学模型。根据所建数学模型计算在引入距离
条件后所提供的无线充电实验的电能传输效率并比较分析。
问题三：根据所建模型探究当距离固定时发射频率、匹配阻抗对传输效率的影响。
并论证能否通过调整发射频率、匹配阻抗值使得传输效率达到最大，同时求出传输效率
最大值。
问题四：受现实因素影响，电动汽车无线充电装置线圈之间的垂直射影很难完全重
合。在第三问的基础上计算两线圈垂直距离
h
为
100mm
时，保证最高传输效率大于
80%
前提下两线圈
X
轴方向偏离距离
a
的最大值。
二、问题分析
为了研究两线圈之间的电能无线传输过程，我们需要建立线圈之间电磁学传递模型。
在分析问题、建立模型之前，我们首先对一些电磁学的基本知识进行一定的介绍：
(1)
电磁感应：
在闭合电路中，当穿过电路的磁通量发生改变时，电路中就会生成感
应电流。这种因为磁场改变而在电路中产生电流的现象称之为电磁感应。
(2)
磁耦合谐振：
通过在电磁感应无线充电电路中加装补偿装置，使两边线圈的谐振
频率一致。当传输频率等于谐振频率时，线圈之间会产生磁耦合谐振效应，发射线圈和
接收线圈的磁场相位被同步，耦合状态由松散状况转为强化状态。发射线圈产生的磁场
可在接收线圈上产生最大的电流，借此可以完成远距离和高效率的无线电能传输。
(3)
基尔霍夫定律：
基尔霍夫定律是计算和分析电路的基础，包括基尔霍夫电流定律
(KCL)
和基尔霍夫电压定律
(KVL)
。
基尔霍夫电流定律的基本表述为：所有进入某节点的电流的总和等于所有离开这节
点的电流的总和。
基尔霍夫电压定律的基本表述为：沿着闭合回路所有元件两端的电势差（电压）的
代数和等于零。
(4)
诺依曼公式：
通过对电偶极子产生磁场的积分来计算两元器件间互感值的公式，
其具体表述为：
2.1
问题一的分析
问题一给出了不同线圈间距时发射线圈和接收线圈的参数，要求建立发射频率、匹
配阻抗与无线电能传输效率的数学模型。题目中已经给出电磁学等效电路图，需要根据
此电路图建立两线圈之间电能传输的模型。基于基尔霍夫定律可以得出两线圈感应电流、
电压的大小，引入品质因数和耦合系数的概念，将输入功率与输出功率用其感应电流、
电压表示出来，然后将其比值转化为关于品质因数和耦合系数之间的关系，从而建立出
输入功率与输出功率之比，也就是传输效率的数学模型。建立完成模型后分析其收到的
约束条件，寻找算法进行计算得出结果。
2.2
问题二的分析
问题二在问题一的基础上加入了两线圈之间的距离对模型的影响。在无线充电系统
中，改变两线圈之间的距离，随之而改变最大的是两线圈之间的互感。要解决此题，只
需在问题一的模型上加入互感对距离的模型。由互感的定义和诺伊曼公式可以得出距离
对互感影响的模型。对第一问的模型进行扩充，加入距离对互感的影响，分析其收到的
新约束条件，寻找算法进行计算得出结果。
2.3
问题三的分析
问题三是建立在问题一所建立的电能传输模型基础上的最大值求解问题。只需找到
其约束条件，然后采用递归遍历算法对离散化后的约束条件进行求解，即可得出电能无
线传输效率的最大值。以及最大值出现时的发射频率和发射线圈电感。
2.4
问题四的分析
问题四基于问题三结论，找到传输效率最大时的发射频率和发射线圈电感，在这两
个参数保持不变的基础上改变接收线圈圆心的偏移量 ，找到传输效率高于
80%
时，接
收线圈圆心的最大偏移量 。在无线充电系统中，改变接收线圈圆心的偏移量 ，随之改
变最大的仍是两线圈之间的互感。由互感的定义和诺伊曼公式可以得出接收线圈圆心偏
移量 对互感影响的模型。要解决此题，只需引入接收线圈圆心偏移量 对线圈互感的
影响，对第一问模型进行扩充，基于第三问的结论，采用递归遍历算法对离散化后的约
束条件进行求解，即可得出接收线圈圆心的最大偏移量 。
三、模型假设
为了便于问题的研究，对题目中某些条件进行简化及合理的进行假设：
1.
在此无线充电系统中，两线圈视为理想线圈，且工作时不受外界磁场干扰。
2.
两线圈均视为由
10
匝圆形线圈构成，且每匝线圈的半径均为
35cm
。
3.
题目中的电源、电感、电容、电阻等均视为理想元器件，不随外界条件的变化而
变化。
4.
题目中的负载为纯阻性负载，其流过电压与电流的比值为接收装置电阻
R2
。
5.
假设无线传输充电装置采用的线圈为平面螺旋线圈。
四、符号说明
考虑本文会出现大量的公式推导过程，为了叙述方便，现对本文常出现的部分符号
进行统一说明，详见表
4.1
。
五、问题一
5.1
模型的建立
（
1
）确定目标函数
建立如图
5.1
所示的无线充电系统等效电路，将发射线圈所在电路与接收线圈所在
电路均等效为
RLC
电路与电源或者负载相连接。两部分电路之间通过线圈的谐振完成
电能传输。
通过对结果的分析，我们可以得到如下结论：
在电路保持不变、两线圈垂直投影完全重合、发射频率固定时，两线圈之间的传输
效率随距离的增大而减小。原因是两线圈间的互感随距离的增大而减小，从而影响传输
效率也随之减小。
六、问题二
6.1
模型的建立
（
1
）确定目标函数
依据对模型的假设与电磁学基本知识，在本小题中，输入线圈和接收线圈相互平行
且中心点处于同一轴线上，建立如图
6.1
所示三轴坐标系。
七、问题三
7.1
模型的建立
（
1
）确定目标函数
问题三是建立在问题一所建立的电能传输模型基础上的最大值求解问题。所以其目
标函数与问题一相同，约束条件以及算法不同。
八、问题四
8.1
模型的建立
（
1
）确定目标函数
受现实环境和实际操作影响，线圈对位过程中不止两线圈轴向距离会受到影响，其
径向距离也会受到如操作、地形等因素的影响而发生偏移变化，这进一步加大了无线电
能传输与分析的难度。其等效示意图如下图
8.1
所示。
8.3
结果分析
根据建立的模型，分析了接收线圈圆心向
X
轴正方向偏离不同的距离后，其无线充
电的传输效率的变化情况，同时根据题目要求的传输效率不低于
80%
，计算出了保证该
效率时所要求的最大偏离距离。模型分析和计算得知，保证该效率时的最大偏离距离为
30.68cm
，当偏移距离小于
30.68cm
时，系统的传输效率大于
80%
，当偏移距离大于
30.68cm
时，系统的传输效率小于
80%
。
同时分析偏移距离与传输效率曲线（如下图
8.2
所示），可以得出传输效率的变化规
律，传输效率随着偏移距离的增大会缓慢下降，在偏移距离达到线圈半径大小时，传输
效率降为了
74%
左右
其后传输效率急速下降；当偏移距离到达一定的值后，由于线圈异侧对应和两线圈
电流反向的缘故，会出现传输效率先缓慢增大再缓慢减小的现象，在偏移距离达到线圈
半径两倍大小左右时，传输效率到达了其异侧对应下的极值，约为
22%
，最后随着距离
的不断增大，传输效率趋于
0
。
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