ACM动态规划基础篇_c++实现a的98765次方

1 前言

1.1 什么是动态规划

动态规划（Dynamic Programming）是求解决策过程最优化的数学方法。把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。

1.2 什么时候要用动态规划

如果要求一个问题的最优解（通常是最大值或者最小值），而且该问题能够分解成若干个子问题，并且小问题之间也存在重叠的子问题，则考虑采用动态规划。

能采用动态规划求解的问题的一般要具有3个性质：

• 最优化原理
  如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理。
• 无后效性
  即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。
• 有重叠子问题
  即子问题之间是不独立的，一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到。（该性质并不是动态规划适用的必要条件，但是如果没有这条性质，动态规划算法同其他算法相比就不具备优势）

2 斐波那契数列 $Fibonacci$

2.1 引入

有一头母牛，它每年年初生一头小母牛。每头小母牛从第二个年头开始，每年年初也生一头小母牛。请问在第n年的时候，共有多少头母牛？

2.2 定义

$fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)$

$0$ $1$ $1$ $2$ $3$ $5$ $8$ $13$ $21$ $34$

2.3 递归分治解决 $Recursion$

2.3.1 代码

int fib(n){
   
    return (n < 2) ? n : fib(n - 1) + fib(n - 2);
}

int fib(n){
   
    if(n < 2) return n;
    return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}

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2.3.2 时间复杂度分析

$T(n)=T(n-1)+T(n-2)+1>2\cdot T(n-2)+1=O((\sqrt{2}{)}^n)$

$T(n)=T(n-1)+T(n-2)+1=O(fib(n))=O({\Phi }^n)$

$$\Phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.618...$$

$${\Phi }^{36}\approx 2^{25}$$

$${\Phi }^5\approx 10$$

2.4 解决方案

刚刚递归算法的不足之处在于重复计算了大量相同的子问题，浪费了大量时间

好记性不如烂笔头

记忆化搜索$Memoization$

备忘录 $Look-up$ $Table$ $\to$ $Array$

用一个数组记录需要重复计算的子问题

这就是动态规划的第一种实现方式，也是最容易理解的写法：记忆化搜索

2.5 记忆化搜索

const int maxn = 1e6 + 5;
int f[maxn];
void init(){
   
    memset(f, -1, sizeof(f));
    f[0] = 0;
    f[1] = 1;
}
int fib(n){
   
    int& ret = f[n]
    if(ret != -1) return ret;
    ret = fib(n - 1) + fib(n - 2);
    return ret;
}

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3 快速幂

3.1 问题描述

$$a^{98765}=???$$

3.2 十进制快速幂

a 9 ⋅ 1 0 4 + 8 ⋅ 1 0