【机器学习（4）】逻辑回归、损失函数、梯度下降法、惩罚模型_逻辑回归 -log(x) 损失函数 -log(1-x)

Logistic回归

主题思想：通过对数据的分类边界线建立回归公式，从而实现分类

激活函数

将连续的数值转化为0和1输出；其中第一个函数实现0到1的数据转换是不平滑的，有跳跃（求极值的过程会有麻烦），而第二个函数是渐变平滑的

Logistic回归实现的过程：如下图
1） 将样本特征值与回归系数相乘
2） 再将所有的特征值与回归系数的乘积相加
3） 最后将加和代入sigmoid函数
4） 输出一个范围在0-1之间的值
5） 结果大于0.5的样本归入1类，小于0.5的样本归入0类

逻辑回归的损失函数

不能直接使用线性回归的损失函数，否则求导后会形成多个局部最小值点（偏导数为0），无法判断

接着将最后的两个公式代到第一个函数中去，最后整个损失函数就如下图所示：

梯度下降法

1. 基本介绍：
            无约束的多元函数极值求解方法；
            一种常用的机器学习参数求解法；
            通过迭代得到最小化的损失函数所对应的的模型参数

2. 基本思路：
            在求解目标函数E(a)的最小值时，a沿着梯度下降的方向不断变化求解最小值
                   

3. 什么是梯度
   假设优化目标是求解函数E(a)的最小值
   

4. 什么是步长
            步长是梯度下降的速度控制器；
            步长太小：收敛速度慢
            步长太大：可能跳过函数最小值，导致发散

5. 怎么判断收敛
            人为规定迭代的次数
            规定阈值

惩罚模型

1. 惩罚（正则化）定义：
            通过在模型损失函数中增加一个正则项（惩罚项）来控制模型的复杂程度
            惩罚项：一般来说都是一个随着模型复杂度增加而增加的单调递增函数

2. 惩罚项（正则化）的优化公式：
   

3. 惩罚项（正则化）的优化目标：
   由于添加了惩罚项，优化目标就有原来的“求解参数使得模型误差整体最小”，变成–>求解参数使得模型误差整体最小同时使得模型复杂度最低

4. 惩罚项（正则化）的目的：
   通过降低模型的复杂度，从而防止过拟合，提高模型的泛化能力
            解释一：奥卡姆剃刀原理（Occam’s Razor）:“如无必要，勿增实体（Entities should not be multiplied unnecessarily）”，
   翻译过来就是–>能够用简单方法达到很好的效果，就没有必要使用复杂的方法；
   原理进一步推广就是–>如果简单的模型就能达到很好的预测效果，就没有必要使用复杂的模型
            解释二：在模型中使用更多的自变量，一般情况下都会提高模型在训练集上的表现，但同时也会提高模型的复杂度，降低模型在验证集上的泛化能力，造成过拟合

5. 常用的惩罚项（正则项）：
   以线性回归模型的损失函数为例，假设线性回归模型需要求解的参数为列向量A，数据集中有N个样本，则有L1和L2
   

6. 常用的惩罚项（正则项）特性
   L1正则系数: lasso回归:
            L1是模型各个参数的绝对值之和
            L1可以将特征参数约束到0,因此L1会趋向于产生少量的特征,而其他的特征都是0
            L1也因此具有特征筛选的功能(被筛除的特征特征参数为0)
            L1通过融入少量的特征来防止过拟合

   L2正则系数:ridge回归:
            L2是模型各个参数的平方和的开方值。
            L2只能减小特征参数值,让参数接近0,但不能将参数约束到0（不具备筛选特征值的功能）
            L2通过减少特征的参数值来防止过拟合