DICOM世界观·第一章 坐标系统_dicom坐标系

前言：

DICOM世界观·开篇中顺便提到了DICOM标准中提及的各类坐标系统。鉴于篇幅问题（CSDN博客的确不太适合写长学术类博文），对于坐标系统的偏理论部分放到本篇进行介绍。正如“DICOM世界观·开篇”中提到的，希望按照“科学”本身的方式——大量观察经验+理论推理——来介绍相关知识点。
本篇博文内容大致如下：

1.3. 坐标系变换
1.3.1 方向余弦
1.3.2 欧拉角
1.3.3 四元数
1.3.4 DICOM中的方向余弦示例

第一章 坐标系统 Coordinate System

开篇中提到了“笛卡尔坐标系”的伟大贡献，使得数学与几何两者有机的结合了起来，快速推进了人类文明的进步，至少古希腊文明取得了空前的进步。还记得高中时莫名的很讨厌解析几何（Coordinate geometry，可以简单地理解为将空间的几何问题当做数学方程式来解），因为它巧妙的利用解析式的数字方法掩盖了空间的复杂，让我引以为傲的超强空间想象力变得苍白无力。只怪当时井底之蛙未能完全体会它的美。
目前我们已经确定了DICOM世界观的一种度量方式——笛卡尔右手坐标系——但笛卡尔坐标系仅仅是诸多链接数学与几何映射方式的一种而已，另外还有极坐标（Polar Coordinate System）、圆柱坐标（Cylindrical Coordinate System）、球坐标（Spherical Coordinate System）、齐次坐标（Homogeneous Coordinate System，后续章节会重点提到）等等。接下来让我们看看在该度量体系下如何来描述DICOM中的相关实体。

1.3 坐标系变换 Coordinate Transformations

坐标系变换，Coordinate Transformations，在这里可能表述不够准确。更精确的描述应该指的是不同坐标系，例如极坐标系、圆柱坐标系、球坐标系、齐次坐标等，彼此之间的转换。这里我想表达的意思是利用坐标转换的表达方式（例如下文的余弦向量、欧拉角、四元数）来描述DICOM世界中出现的相关变换，例如平移、旋转、缩放等，他们大多都是发生在笛卡尔坐标系统之下，作为生活在三维世界的生物，我们更习惯于笛卡尔理论体系的描述——亦或因为习惯了笛卡尔体系使得我们认为我们是三维的生物。

1.3.1 方向余弦 Direction Cosine

方向余弦，是解析几何中的一个概念。Wiki描述如下：

In analytic geometry, the direction cosines (or directional cosines) of a vector are the cosines of the angles between the vector and the three coordinate axes. Equivalently, they are the contributions of each component of the basis to a unit vector in that direction.

方向余弦本身是一个向量，vector。用来描述任一空间向量V与坐标系坐标轴间夹角的余弦，可以唯一的确定向量在坐标系下的方向，在现实应用中，方向余弦多半用于描述空间任一两个向量间的夹角。既然是解析几何的概念，我之前也提到过，可以完全用于数学解析的方式来描述：如下所示：

$$\begin{eqnarray*} 假设v是三维欧式空间的一个向量，v=v_xe_x+v_ye_y+v_ze_z \end{eqnarray*}$$
其中 $v_x,v_y,v_z$ 分别表示向量 $v$在坐标系x，y，z三轴中的坐标，那么该向量与三个坐标轴之间的夹角的方向余弦是：