【集合论】偏序关系 ( 偏序关系定义 | 偏序集定义 | 大于等于关系 | 小于等于关系 | 整除关系 | 包含关系 | 加细关系 )

一. 偏序关系

1. 偏序关系定义

( 1 ) 偏序关系定义 ( 自反 | 反对称 | 传递 )

偏序关系 定义 :

• 1.前置条件 1 : $A̸=\varnothing$ , 并且 $R\subseteq A\times A$ ;

• 2.前置条件 2 : 如果 $R$ 是 自反 , 反对称 , 传递的 ;

  • ① 自反 : 每个元素 自己 和 自己 都有关系 , $xRx$ ;
  • ② 反对称 : 如果 $xRy$ 并且 $yRx$ 则 $x=y$ , 即 $x̸=y$ , $xRy$ 和 $yRx$ 不能同时存在 ; 可以没有 , 但是一定不能同时出现 ;
  • ③ 传递 : 如果 有 $xRy$ , $yRz$ , 那么必须有 $xRz$ , 如果前提不成立 , 那么也勉强称为传递 ;

• 3.结论 : 称 $R$ 为 $A$ 上的偏序关系 ;

• 4.表示 : 使用 $⪯$ 表示偏序关系 ;

• 5.读法 : $⪯$ 读作 "小于等于" ;

• 6.使用公式表示 :
  $$<x,y>\in R⟺xRy⟺x⪯y$$

• 7.公式解读 : 如果 $x$ , $y$ 两个元素 构成 有序对 $<x,y>$ , 并且在偏序关系$R$ 中 , $x$ 和 $y$ 具有 $R$ 关系 , 也可以写成 $x$ 小于等于 ( 偏序符号 ) $y$ ;

• 8.常见的偏序关系 : 树 上 的 小于等于关系 , 集合上的包含关系 , 非 $0$ 自然数之间的整除关系 , 都是常见的偏序关系 ;

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( 2 ) 偏序关系 与 等价关系 ( 等价关系 用于分类 | 偏序关系 用于组织 )

偏序关系 与 等价关系 :

• 1.表示层次结构 : 偏序关系是非常常用的二元关系 , 通常用来 表示 层次结构 ;
• 2.等价关系 : 等价关系 是 用来分类的 , 将一个 集合 分为 几个等价类 ;
• 3.偏序关系 : 偏序关系 通常是 用来组织的 , 在每个类的内部 , 赋予其一个结构 , 特别是层次结构 , 有上下层级 ,

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2. 偏序集定义

( 1 ) 偏序集定义

偏序集 定义 :

• 1.前置条件 1 : $⪯$ 是 $A$ 上的 偏序关系 ;
• 2.结论 : $<A,⪯>$ 是偏序集 ;
• 3.解读 : 集合 $A$ 与 偏序关系 $⪯$ 构成的有序对 , 称为 偏序集 ;

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二. 偏序关系 示例

1. 小于等于关系

( 1 ) 小于等于关系 说明

偏序集示例 1 ( 小于等于关系 $\le$ 是 偏序关系 ) :

• 1.公式表示 : $$\varnothing ̸=A\subseteq R,<A,\le >$$
• 2.语言描述 : 如果 $A$ 是 实数集 $R$ 的 子集 , 并且 $A$ 不能 是 空集 $\varnothing$ , 集合 $A$ 中的 小于等于关系 , 是偏序关系 ;
• 3.使用集合形式表示关系 : ≤ = { &lt; x , y &gt; ∣ x , y ∈ A ∧ x ≤ y } \leq = \{ &lt;x,y&gt; | x,y \in A \land x \leq y \} ≤={<x,y>∣x,y∈A∧x≤y}

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( 2 ) 小于等于关系 分析

实数集 $A$ 上的 小于等于关系 ( $\le$ ) 分析 :

• 1.自反性质分析 : $x$ 小于等于 $x$ , $x\le x$ , 是成立的 , 小于等于关系 是 自反的 ;
• 2.反对称性质分析 : $x$ 小于等于 $y$ , $y$ 小于等于 $x$ , 推出 $x=y$ , 符合 反对称性质 的 定义 , 因此 小于等于 关系 是 反对称的 ,
• 3.传递性质分析 : $x$ 小于等于 $y$ , $y$ 小于等于 $z$ , $x$ 小于等于 $z$ , 是成立的 , 因此 小于等于关系 是 传递的 ;
• 4.总结 : 综上所述 , 小于等于 关系 是 偏序关系 ;

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2. 大于等于关系

( 1 ) 大于等于关系 说明

偏序集示例 2 ( 大于等于关系 $\ge$ 是 偏序关系 ) :

• 1.公式表示 : $$\varnothing ̸=A\subseteq R,<A,\ge >$$
• 2.语言描述 : 如果 $A$ 是 实数集 $R$ 的 子集 , 并且 $A$ 不能 是 空集 $\varnothing$ , 集合 $A$ 中的 大于等于关系 ( $\ge$ ) , 是偏序关系 ;
• 3.使用集合形式表示关系 : ≥ = { &lt; x , y &gt; ∣ x , y ∈ A ∧ x ≥ y } \geq = \{ &lt;x,y&gt; | x,y \in A \land x \geq y \} ≥={<x,y>∣x,y∈A∧x≥y}

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( 2 ) 大于等于关系 分析

实数集 $A$ 上的 大于等于关系 ( $\ge$ ) 分析 :

• 1.自反性质分析 : $x$ 大于等于 $x$ , $x\ge x$ , 是成立的 , 大于等于关系 是 自反的 ;
• 2.反对称性质分析 : $x$ 大于等于 $y$ , $y$ 大于等于 $x$ , 推出 $x=y$ , 符合 反对称性质 的 定义 , 因此 大于等于 关系 是 反对称的 ,
• 3.传递性质分析 : $x$ 大于等于 $y$ , $y$ 大于等于 $z$ , $x$ 大于等于 $z$ , 是成立的 , 因此 大于等于关系 是 传递的 ;
• 4.总结 : 综上所述 , 大于等于 关系 是 偏序关系 ;

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3. 整除关系

( 1 ) 整除关系 说明

偏序集示例 3 ( 整除关系 是 偏序关系 ) :

• 1.公式表示 : ∅ ̸ = A ⊆ Z + = { x ∣ x ∈ Z ∧ x &gt; 0 } &lt; A , ∣ &gt; \varnothing \not= A \subseteq Z_+ = \{ x | x \in Z \land x &gt; 0 \}&lt;A , | &gt; ∅̸​=A⊆Z+​={x∣x∈Z∧x>0}<A,∣>
• 2.语言描述 : 如果 $A$ 是 正整数集 $Z_{+}$ 的 子集 , 并且 $A$ 不能 是 空集 $\varnothing$ , 集合 $A$ 中的 整除关系 ( $|$ ) , 是偏序关系 ;
• 3.使用集合形式表示关系 : ∣ = { &lt; x , y &gt; ∣ x , y ∈ A ∧ x ∣ y } |= \{ &lt;x,y&gt; | x,y \in A \land x | y \} ∣={<x,y>∣x,y∈A∧x∣y}
• 4.整除关系 : $x|y$ , $x$ 是 $y$ 的因子 , 或 $y$ 是 $x$ 的倍数 ;

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( 2 ) 整除关系 分析

正整数集 $A$ 上的 整除关系 ( $|$ ) 分析 :

• 1.自反性质分析 : $x$ 整除 $x$ , $x|x$ , 是成立的 , 整除关系 ( | ) 是 自反的 ;
• 2.反对称性质分析 : $x$ 整除 $y$ , $y$ 整除 $x$ , 两个正整数互相都能整除 , 它们只能相等 , 推出 $x=y$ , 符合 反对称性质 的 定义 , 因此 整除 关系 是 反对称的 ,
• 3.传递性质分析 : $x$ 整除 $y$ , $y$ 整除 $z$ , $x$ 整除 $z$ , 是成立的 , 因此 整除关系 是 传递的 ;
• 4.总结 : 综上所述 , 整除 关系 是 偏序关系 ;

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4. 包含关系

( 1 ) 包含关系 说明

偏序集示例 4 ( 包含关系 $\subseteq$ 是 偏序关系 ) :

• 1.公式表示 : A ⊆ P ( A ) , ⊆ = { &lt; x , y &gt; ∣ x , y ∈ A ∧ x ⊆ y } \mathscr{A} \subseteq P(A) , \subseteq = \{&lt;x , y&gt; | x , y \in \mathscr{A} \land x \subseteq y \} A⊆P(A),⊆={<x,y>∣x,y∈A∧x⊆y}
• 2.语言描述 : 集合 $A$ 上的幂集合 $P(A)$ , $P(A)$ 的子集合 构成 集族 $\mathcal{A}$ , 该集族 $\mathcal{A}$ 上的包含关系 , 是偏序关系 ;

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( 2 ) 包含关系 分析

分析 集合的 子集族 之间的包含关系 :

① 假设一个比较简单的集合

A = { a , b } A=\{a, b\} A={a,b}

② 分析 下面 $A$ 的 3 个子集族 ;

A 1 = { ∅ , { a } , { b } } \mathscr{A}_1 = \{ \varnothing , \{a\} , \{b\} \} A1​={∅,{a},{b}}

集族 ${\mathcal{A}}_1$ 包含 空集 $\varnothing$ , 单元集 { a } \{a\} {a} , 单元集 { b } \{b\} {b} ;

A 2 = { { a } , { a , b } } \mathscr{A}_2 = \{ \{a\} , \{a, b\} \} A2​={{a},{a,b}}

集族 ${\mathcal{A}}_2$ 包含 单元集 { a } \{a\} {a} , 2 元集 { a , b } \{a, b\} {a,b} ;

A 3 = P ( A ) = { ∅ , { a } , { b } , { a , b } } \mathscr{A}_3 = P(A) = \{ \varnothing , \{a\} , \{b\} , \{a, b\} \} A3​=P(A)={∅,{a},{b},{a,b}}

集族 ${\mathcal{A}}_3$ 包含 空集 $\varnothing$ , 单元集 { a } \{a\} {a} , 单元集 { b } \{b\} {b} , 2 元集 { a , b } \{a, b\} {a,b} ; 这是 集合 $A$ 的 幂集 ;

③ 列举出集族 ${\mathcal{A}}_1$ 上的包含关系 :

⊆ 1 = I A 1 ∪ { &lt; ∅ , { a } &gt; , &lt; ∅ , { b } &gt; } \subseteq_1 = I_{\mathscr{A}1} \cup \{ &lt;\varnothing , \{a\}&gt; , &lt;\varnothing , \{b\}&gt; \} ⊆1​=IA1​∪{<∅,{a}>,<∅,{b}>}

${\subseteq }_1$ 是集合 $\mathcal{A}1$ 上的偏序关系 ;

即 分析 空集 $\varnothing$ , 单元集 { a } \{a\} {a} , 单元集 { b } \{b\} {b} 三个 集合之间的包含关系 :

• 1.恒等关系 $I_{\mathcal{A}1}$ : &lt; { a } , { a } &gt; 和 &lt; { b } , { b } &gt; &lt;\{a\} , \{a\}&gt; 和 &lt;\{b\} , \{b\}&gt; <{a},{a}>和<{b},{b}> , 集合上的恒等关系 , 每个集合 肯定 自己包含自己 ;
• 2. &lt; ∅ , { a } &gt; &lt;\varnothing , \{a\}&gt; <∅,{a}> : 空集 肯定 包含于 集合 { a } \{a\} {a} ;
• 3. &lt; ∅ , { b } &gt; &lt;\varnothing , \{b\}&gt; <∅,{b}> : 空集 肯定 包含于 集合 { b } \{b\} {b} ;
• 4.总结 : 这些包含关系 的性质分析 :
  • ① 自反 : 每个元素自己 包含 自己 , $A\subseteq A$ , 包含关系具有 自反性质 ;
  • ② 反对称 : 如果 集合 $A\subseteq B$ , $B\subseteq A$ , 那么 $A=B$ , 显然 包含关系 具有反对称性质 ;
  • ③ 传递 : 如果 $A\subseteq B$ , 并且 $A\subseteq C$ , 那么有 $A\subseteq C$ , 包含关系 具有传递性质 ;

④ 列举出集族 ${\mathcal{A}}_2$ 上的包含关系 :

⊆ 2 = I A 2 ∪ { &lt; { a } , { a , b } &gt; \subseteq_2 = I_{\mathscr{A}2} \cup \{ &lt;\{a\} , \{a, b\}&gt; ⊆2​=IA2​∪{<{a},{a,b}>

${\subseteq }_2$ 是集合 $\mathcal{A}2$ 上的偏序关系 ;

⑤ 列举出集族 ${\mathcal{A}}_3$ 上的包含关系 :

⊆ 3 = I A 3 ∪ { &lt; ∅ , { a } &gt; , &lt; ∅ , { b } &gt; , &lt; ∅ , { a , b } &gt; , &lt; { a } , { a , b } &gt; , &lt; { b } , { a , b } &gt; } \subseteq_3 = I_{\mathscr{A}3} \cup \{ &lt;\varnothing , \{a\}&gt; , &lt;\varnothing , \{b\}&gt;, &lt;\varnothing , \{a, b\}&gt; , &lt;\{a\} , \{a, b\}&gt; , &lt;\{b\} , \{a, b\}&gt; \} ⊆3​=IA3​∪{<∅,{a}>,<∅,{b}>,<∅,{a,b}>,<{a},{a,b}>,<{b},{a,b}>}

${\subseteq }_3$ 是集合 ${\mathcal{A}}_3$ 上的偏序关系 ;

5. 加细关系

( 1 ) 加细关系 说明

偏序集示例 5 ( 加细关系 ${⪯}_{加细}$ 是 偏序关系 ) :

• 1.加细关系描述 : $A̸=\varnothing$ , $\pi$ 是 由 $A$ 的 一些划分 组成的集合 ;

⪯ 加 细 = { &lt; x , y &gt; ∣ x , y ∈ π ∧ x 是 y 的 加 细 } \preceq_{加细} = \{&lt;x , y&gt; | x , y \in \pi \land x 是 y 的 加细\} ⪯加细​={<x,y>∣x,y∈π∧x是y的加细}

• 2.划分 : 划分 是 一个 集族 ( 集合的集合 ) , 其元素是集合 又叫 划分快 , 其中 每个元素(集族中的元素)集合 中的 元素 是 非空集合 $A$ 的元素 ;
  • ① 该集族不包含空集 ;
  • ② 该集族中任意两个集合都不想交 ;
  • ③ 该集族中 所有 元素 取并集 , 得到 集合 $A$ ;

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( 2 ) 加细关系 分析

分析 集合的 划分之间 的 加细 关系 :

① 集合 A = { a , b , c } A = \{a, b, c\} A={a,b,c} , 下面的 划分 和 加细 都基于 该 集合 进行分析 ;

② 下面 列出集合 $A$ 的 5 个划分 :

划分 1 : 对应 1 个等价关系 , 分成 1 类 ;
A 1 = { { a , b , c } } \mathscr{A}_1 =\{ \{ a, b, c \} \} A1​={{a,b,c}}

划分 2 : 对应 2 个等价关系 , 分成 2 类 ;
A 2 = { { a } , { b , c } } \mathscr{A}_2 = \{ \{ a \} , \{ b, c \} \} A2​={{a},{b,c}}

划分 3 : 对应 2 个等价关系 , 分成 2 类 ;
A 3 = { { b } , { a , c } } \mathscr{A}_3 = \{ \{ b \} , \{ a, c \} \} A3​={{b},{a,c}}

划分 4 : 对应 2 个等价关系 , 分成 2 类 ;
A 4 = { { c } , { a , b } } \mathscr{A}_4 = \{ \{ c \} , \{ a, b \}\} A4​={{c},{a,b}}

划分 5 : 对应 3 个等价关系 , 分成 3 类 ; 每个元素自己自成一类
A 5 = { { a } , { b } , { c } } \mathscr{A}_5 = \{ \{ a \} , \{ b \}, \{ c \} \} A5​={{a},{b},{c}}

③ 下面 列出要分析的几个由划分组成的集合 :

集合 1 :
π 1 = { A 1 , A 2 } \pi_1 = \{ \mathscr{A}_1, \mathscr{A}_2 \} π1​={A1​,A2​}

集合 2 :
π 2 = { A 2 , A 3 } \pi_2 = \{ \mathscr{A}_2, \mathscr{A}_3 \} π2​={A2​,A3​}

集合 3 :
π 3 = { A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 } \pi_3 = \{ \mathscr{A}_1, \mathscr{A}_2, \mathscr{A}_3, \mathscr{A}_4, \mathscr{A}_5 \} π3​={A1​,A2​,A3​,A4​,A5​}

④ 集合 ${\pi }_1$ 上的加细关系分析 :

• 1.自己是自己的加细 : 每个划分 , 自己是自己的加细 , 因此 加细关系中 有 $I_{\pi 1}$ , $<{\mathcal{A}}_1,{\mathcal{A}}_1>$ , $<{\mathcal{A}}_2,{\mathcal{A}}_2>$ ;
• 2.其它加细关系 : ${\mathcal{A}}_2$ 划分中的 每个划分块 , 都是 ${\mathcal{A}}_1$ 划分 中块 的某个划分块的子集合 , 因此有 ${\mathcal{A}}_2$ 是 ${\mathcal{A}}_1$ 的加细 , 记做 $<{\mathcal{A}}_2,{\mathcal{A}}_1>$ ;
• 3.加细的定义 : ${\mathcal{A}}_1$ 和 ${\mathcal{A}}_2$ 都是集合 $A$ 的划分, ${\mathcal{A}}_2$ 中的 每个划分块 , 都含于 ${\mathcal{A}}_1$ 中的某个划分块中 , 则称 ${\mathcal{A}}_2$ 是 ${\mathcal{A}}_1$ 的加细 ;

- 4.加细关系列举 :
⪯ 1 = I π 1 ∪ { &lt; A 2 , A 1 &gt; } \preceq_1 = I_{\pi 1} \cup \{ &lt;\mathscr{A}_2, \mathscr{A}_1&gt; \} ⪯1​=Iπ1​∪{<A2​,A1​>}

⑤ 集合 ${\pi }_2$ 上的加细关系分析 :

• 1.自己是自己的加细 : 每个划分 , 自己是自己的加细 , 因此 加细关系中 有 $I_{\pi 2}$ , $<{\mathcal{A}}_3,{\mathcal{A}}_3>$ , $<{\mathcal{A}}_2,{\mathcal{A}}_2>$ ;
• 2.其它加细关系 : ${\mathcal{A}}_2$ 和 ${\mathcal{A}}_3$ 这两个划分互相不是加细 , 因此 该集合中没有其它加细关系 ;

- 4.加细关系列举 :
$${⪯}_2=I_{\pi 2}$$

⑥ 集合 ${\pi }_3$ 上的加细关系分析 :

• 1.自己是自己的加细 : 每个划分 , 自己是自己的加细 , 因此 加细关系中 有 $I_{\pi 3}$ , $<{\mathcal{A}}_1,{\mathcal{A}}_1>$ , $<{\mathcal{A}}_2,{\mathcal{A}}_2>$, $<{\mathcal{A}}_3,{\mathcal{A}}_3>$, $<{\mathcal{A}}_4,{\mathcal{A}}_4>$, $<{\mathcal{A}}_5,{\mathcal{A}}_5>$ ;
• 2.其它加细关系 :
  • ① 与 ${\mathcal{A}}_5$ 划分相关的加细 : ${\mathcal{A}}_5$ 是划分最细的 等价关系 , ${\mathcal{A}}_5$ 是其它所有 划分 的加细 , 因此有 $<{\mathcal{A}}_5,{\mathcal{A}}_4>$ , $<{\mathcal{A}}_5,{\mathcal{A}}_3>$ , $<{\mathcal{A}}_5,{\mathcal{A}}_2>$ , $<{\mathcal{A}}_5,{\mathcal{A}}_1>$ ;
  • ② 与 ${\mathcal{A}}_1$ 划分相关的加细 : ${\mathcal{A}}_1$ 是划分最粗的 等价关系 , 所有的划分 都是 ${\mathcal{A}}_1$ 的加细 , 因此有 $<{\mathcal{A}}_5,{\mathcal{A}}_1>$ , $<{\mathcal{A}}_4,{\mathcal{A}}_1>$ , $<{\mathcal{A}}_3,{\mathcal{A}}_1>$ , $<{\mathcal{A}}_2,{\mathcal{A}}_1>$ ;
• 4.加细关系列举 :

⪯ 3 = I π 3 ∪ { &lt; A 5 , A 4 &gt; , &lt; A 5 , A 3 &gt; , &lt; A 5 , A 2 &gt; , &lt; A 5 , A 1 &gt; , &lt; A 4 , A 1 &gt; , &lt; A 3 , A 1 &gt; , &lt; A 2 , A 1 &gt; } \preceq_3 = I_{\pi 3} \cup \{ &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_4&gt; , &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_3&gt; , &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_2&gt; , &lt;\mathscr{A}_5 , \mathscr{A}_1&gt; , &lt;\mathscr{A}_4 , \mathscr{A}_1&gt;, &lt;\mathscr{A}_3 , \mathscr{A}_1&gt;, &lt;\mathscr{A}_2 , \mathscr{A}_1&gt; \} ⪯3​=Iπ3​∪{<A5​,A4​>,<A5​,A3​>,<A5​,A2​>,<A5​,A1​>,<A4​,A1​>,<A3​,A1​>,<A2​,A1​>}

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