3.3动态规划--最长公共子序列_最长公共子序列具有最优子结构性质

写在前面

定义最优解数组的含义是什么？--C[i][j]表示序列X[1:i]和序列Y[1:j]的公共子序列长度（左闭右闭区间）

递归关系是什么？每次添加一个元素进入数组，就判断一次他们的最后一个元素是否相同，相同的话就可以留下，不相同就删除其中一个序列的最后一个元素。

如何构造最优解？用一个新的数组b记录尾巴的元素来自上面三种情况的哪一种情况，便于还原。

问题描述

定义最长公共子序列为：若给定序列X={x1,x2,…,xm}，则另一序列Z={z1,z2,…,zk}，是X的子序列是指存在一个严格递增下标序列{i1,i2,…,ik}使得对于所有j=1,2,…,k有：zj=xij。 给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。

例如，序列Z={B，C，D，B}是序列X={A，B，C，B，D，A，B}的子序列，相应的递增下标序列为{2，3，5，7}。

最长公共子序列问题：给定序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，找出他们的最长公共子序列。

就是说，存在一个严格递增下标的序列，使得这个序列是另一个序列的子序列。

例如： X={A,B,C,B,D,A,B}

            Y={B,D,C,A,B,A}

序列{B,C,B,A}是X和Y的一个子序列，长度为4，也是最长的公共子序列。

问题分析 

最优子结构性质

设序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}的最长公共子序列为Z={z1,z2,…,zk} ，

(1)若xm=yn，则zk=xm=yn，且Zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列。

(2)若xm≠yn且zk≠xm，则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列。

(3)若xm≠yn且zk≠yn，则Z是X和Yn-1的最长公共子序列。

 由此可知，2个序列的最长公共子序列包含了这2个序列的前缀的最长公共子序列。因此，最长公共子序列问题具有最优子结构性质。

子问题的递归结构--由最优子结构性质建立子问题最优值的递归关系。

用c[i][j]记录序列和的最长公共子序列的长度。其中， Xi={x1,x2,…,xi}；Yj={y1,y2,…,yj}。

当i=0或j=0时，空序列是Xi和Yj的最长公共子序列。故此时C[i][j]=0。

其它情况下，由最优子结构性质可建立递归关系如下：

 

序列X={x1,x2,…,xi}和Y={y1,y2,…,yj}的最长公共子序列长度计算：

 (1)若xi=yj，则zk=xi=yi，最长的长度为：序列Xi-1和Yj-1的最长公共子序列长度+1。

 (2)若xi≠yj，最长的长度在X[1: i-1]或者是Y[1 :j-1]中取得。

 (3)如果其中一个是空序列，那么最长的公共子序列就是0（就像递归的结束条件一样）

计算最优值

总共有θ(mn)个不同的子问题，因此，用动态规划算法自底向上地计算最优值能提高算法的效率。

 构造最长公共子序列

 空间复杂度的算法的改进--只计算最大长度不需要还原的情况（废话）

在算法lcsLength和lcs中，可进一步将数组b省去。

事实上，数组元素c[i][j]的值仅由c[i-1][j-1]，c[i-1][j]和c[i][j-1]这3个数组元素的值所确定。

对于给定的数组元素c[i][j]，可以不借助于数组b而仅借助于c本身在O(1)时间内确定c[i][j]的值是由c[i-1][j-1]，c[i-1][j]和c[i][j-1]中哪一个值所确定的。 如果只需要计算最长公共子序列的长度，则算法的空间需求可大大减少。事实上，在计算c[i][j]时，只用到数组c的第i行和第i-1行。因此，用2行的数组空间就可以计算出最长公共子序列的长度。进一步的分析还可将空间需求减至O(min(m,n))。

#include <iostream>
#include <string>
#include <stack>
using namespace std;
void LCS(string s1,string s2)
{
    int m=s1.length()+1;
    int n=s2.length()+1;
    int **c;
    int **b;
    c=new int* [m];
    b=new int* [m];
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        c[i]=new int [n];
        b[i]=new int [n];
        for(int j=0;j<n;j++)
            b[i][j]=0;
    }
    for(int i=0;i<m;i++)
        c[i][0]=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
        c[0][i]=0;
    for(int i=0;i<m-1;i++)
    {
        for(int j=0;j<n-1;j++)
        {
            if(s1[i]==s2[j])
            {
                c[i+1][j+1]=c[i][j]+1;
                b[i+1][j+1]=1;          //1表示箭头为  左上
            }
            else if(c[i][j+1]>=c[i+1][j])
            {
                c[i+1][j+1]=c[i][j+1];
                b[i+1][j+1]=2;          //2表示箭头向  上
            }
            else
            {
                c[i+1][j+1]=c[i+1][j];
                b[i+1][j+1]=3;          //3表示箭头向  左
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<m;i++)                //输出c数组
    {
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            cout<<c[i][j]<<' ';
        }
        cout<<endl;
    }
    stack<char> same;                   //存LCS字符
    stack<int> same1,same2;             //存LCS字符在字符串1和字符串2中对应的下标，方便显示出来
    for(int i = m-1,j = n-1;i >= 0 && j >= 0; )
    {
        if(b[i][j] == 1)
        {
            i--;
            j--;
            same.push(s1[i]);
            same1.push(i);
            same2.push(j);
        }
        else if(b[i][j] == 2)
                i--;
             else
                j--;
    }
    cout<<s1<<endl;                     //输出字符串1
    for(int i=0;i<m && !same1.empty();i++)      //输出字符串1的标记
    {
        if(i==same1.top())
        {
            cout<<1;
            same1.pop();
        }
        else
            cout<<' ';
    }
    cout<<endl<<s2<<endl;                //输出字符串2
    for(int i=0;i<n && !same2.empty();i++)      //输出字符串2的标记
    {
        if(i==same2.top())
        {
            cout<<1;
            same2.pop();
        }
        else
            cout<<' ';
    }
    cout<<endl<<"最长公共子序列为：";
    while(!same.empty())
    {
        cout<<same.top();
        same.pop();
    }
    cout<<endl<<"长度为："<<c[m-1][n-1]<<endl;
    for (int i = 0; i<m; i++)
    {
        delete [] c[i];
        delete [] b[i];
    }
    delete []c;
    delete []b;
}
int main()
{
    string s1="ABCPDSFJGODIHJOFDIUSHGD";
    string s2="OSDIHGKODGHBLKSJBHKAGHI";
    LCS(s1,s2);
    return 0;
}

代码是我抄的，应该自己画一遍数组的表。其余的博客也讲的很清楚了，具体过程可以看这个：

动态规划解最长公共子序列(LCS)(附详细填表过程)_z-k的博客-CSDN博客_最长公共子序列动态规划算法

 得理解那个数组是怎么填的！