Branch-and-Cut（CVRP问题）

• 有效不等式 由分割过程（separation procedures ）动态产生
• 并且通过不断添加有效不等式来提高当前的界（bound）

1. 预处理（preprocessing）
2. 生成割平面（Cut generation）
3. 管理 线性松弛（LP relation）
4. 搜索策略（Search strategy）
5. 分支策略（Branching strategy）
6. 启发式（Primal heuristics）

1、Preprocessing

•  隐含界（Implied bounds）：

如果: 那么 会有 

（至少让能取到的最小值，满足条件？ 至少存在一个？）

• 预处理：

如果存在 ，那么约束是冗余条件（redundant） （利用x的取值范围，可以得到 π x 在松弛下的最小值，如果这个值依旧小于π0，那么约束没意义）

•  0-1 integer program：
  • 如果：（系数过正，且系数过大，需要取0，才有可能满足范围）
  • 如果：（系数为负，必须选中第K项，才有可能满足范围）

2、Managing the LP Relaxations

实际中，生成的不等式数量过大，必须保证LP松弛规模尽量小或者牺牲效率（sacrififice effiffifficiency）

两种方式：

• 限制在每次迭代时增加的cuts数量：
  • 新生成的cuts装进缓存（buffer）中，每次迭代添加buffer中少量的违反规则的cuts
• 删除逐渐无效的cuts:
  • 对偶值为0（接近“0”）
  • 松弛变量为基变量（basic）
  • 松弛变量为正值（positive）

 3、Cut Generation and Management

•  branch and cut 的关键问题是：什么时候生成并且生成哪种有效不等式
• Structural cuts 由 problem-specifific separation生成
• 对于一个给定点生成的 有效cut ，将被储存在cut pools中用于后用
• cut pool 还可以被用作进行分割（separation）的辅助工具
• 生成的cuts数量很多，需要谨慎保存

Two-commodity Flow Formulation of the CVRP

•  模型使用两个流变量 ，来表示一个车辆最大负载容量为Q的VRP问题解

•  如果车辆从 i 到 j 那么表示车辆当前的负载（load）情况,相对的 则表示剩余空间（empty space）即
• 令为 G添加点n+1（即出发点depot 0的复制点）生成的图
• 于是有；

       ； 

•  表示集合的补集（complementary set）
• 其中为0-1变量，当边存在结果中时，为“1”
• 则是与边相关的两条流

Two-commodity formulation  模型如下：

 目标：

             所选边的代价最小

   对于同一点，在两个不同方向流上经过了两次消                                                                                 耗，每次消耗 qi

      从初始点“0”到每个顾客点“i”的流量和，就是每个顾客点的容量之和

                                                （从空载出发，只经过一个点）

      相反，每个顾客点“i”到的初始点“0”的流量和，为M辆汽车                                 减掉每个顾客点的容量（满载汽车容量为“Q”，最后访问的顾客点容量为qi）

          任何一条边会包含来回两个方向

    两个不同方向的流量（负载）和 为车的最大负载容量“Q”

经过LP松弛，可以用变量进行改写：

目标：

        相当于最小化 cij之和？

         从第“n+1”个点（反向第一个点）出发时，此时每个流容量是“Q”

   对于顾客节点“i”，只与两个其他节点相连，因此即便                                                               访问所有节点V，也只有两组（4条流，且两两相加为“Q”）

 

• 给定一个可行解  ，令为其对应图
• 其中，

 例子：

初始化线性松弛实例 E- n22 - k4    (n=21, M =4, Q=60):

•  由图可知，边degree超过“1”，因为（超出了最大容量），因此加入约束：

                              

•  同样，从解可以看出，两边中 流和都为“0”，于是加入下面几个流约束：
  • 如果{i,j}在结果中，那么  从  i->j  的流最少要等于：           （流的载量一定 不低于 下一个节点的需求量）

  • 或者，同样地：

       经过变换，将其中一个yij换成                                                                           Q- yji，化简可得，上式两边均乘Q，意义不变

加入上述约束后 ，结果变为

 考虑集合 ，其中 （与外界相连的部分的总和）

并且，

于是，下面的约束成立：

 

（i , j 分别属于集合S及其补集） 

左式表示，S与S补集之间的连接流数； 右式表示， 至少需要几辆车

 要想覆盖S区域，一定要足够的车（容量）来满足流量要求，车进入S后，再离开，往返至少需要两条通路

设计启发式算法来求得初解：

Greedy Randomized Algorithm

•  这个过程需要对一部分顾客的子集进行迭代操作
• 给定一个，
• 对于两个不相连的顶点集，表示的是从的所有边集合
• 每次迭代时， 对于每个都重复进行如下操作：
  • 令为顾客点，从而：                                  选尽可能多让S 与 外界相连的情况
  •  如果当前结果违背了与子集之间的不等式关系，那么这个不等式将加到LP程序中，然后被更新为（是不是反了？）这个过程不断反复，知道S包含了所有的顾客点

•  第一个将由顾客点的子集随机产生

在加入142个 容量约束后，下界等于3750.00，并且此时的结果是整数解

 如果结果是非整数，那么分支（branching）将用来解决最优性

 分支规则如下：

选择一个集合，产生两个子问题：

• 子问题 ：确保个车辆访问集合S：

• 子问题：确保至少有个车辆访问集合S：