概率题汇总

https://blog.csdn.net/u012526436/article/details/108987459
参考链接

1. 如何等概率地大小为n的数组中选取m个整数

2. 小兔的棋盘

给出一个矩阵，不能穿越对角线，但可以触碰到，问从a[1][1] 走到 a[n][n]又多少种方法。

思路：dp

我们首先考虑a[n][n]，a[n][n]可以从a[n-1][n]和a[n][n-1]两种状态得到，但是因为不能穿越对角线，所以我们只考虑一半的情况，然后根据对称性来得到最终的结果。

对角线上的点那么a[i][i]就只能从a[i][i-1]得到这是一种特殊情况, dp[i][i] = d[i][i-1]

其他点则可以是 dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][j]

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N = 40;
typedef long long LL;

LL a[N][N];

int main()
{
    int n;
    int cnt = 1;
    while(scanf("%d", &n), n != -1)
    {
        for(int i=0; i<N; i++)
        {
            a[i][0] = 1;    // 棋盘边上的点只有一条路径
            a[0][i] = 1;
        }
        for(int i=1; i<N; i++)
        {
            for(int j=1; j<i; j++)    // 只考虑对角线一边的情况
            {
                a[i][j] = a[i-1][j] + a[i][j-1];
            }
            a[i][i] = a[i][i-1];    // 对角线上的点只能从它的下方得到
        }
        // a[n][n] = a[n][n-1];
        
        // 根据对称性，最后的结果×2即可
        printf("%d %d %lld\n", cnt++, n, 2 * a[n][n]);


    }


    return 0;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40

3. 一本书，共300页，总共有200个印刷错误，均匀分布。请问，这本书第100页不止有一个错误的概率：

4. 从一副52张扑克牌中随机抽两张，颜色相等的概率

解析：分母为从52张扑克牌当中取两张，即C ²₅₂
有红黑两种颜色，各26张，只从红色中抽取两张，C ²₂₆，或者只从黑色中抽取两张，C ²₂₆

5. 54张牌，分成6份，每份9张牌，大小王在一起的概率？

• 54张牌分成3等份，共有M=(C54取9)(C45取9)(C36取9)(C27取9)(C18取9)*(C9取9)种分法。
• 其中大小王在同一份的分法有N=(C6取1)(C52取7)(C45取9)(C36取9)(C27取9)(C18取9)(C9取9)种。

6. 54张扑克牌，现分成3等份，每份18张，问大小王出现在同一份中的概率。

• 54张牌分成3等份，共有M=(C54取18)(C36取18)(C18取18)种分法。
• 其中大小王在同一份的分法有N=(C3取1)(C52取16)(C36取18)(C18取18)种。
  解析：先在三堆里面取一堆作为放王的堆，然后这个放大小王的堆，从52张牌中取16张，接着再考虑剩下两堆，就是(C36取18)(C18取18)了。
  因此所求概率为P=N / M=17/53。

https://www.nowcoder.com/discuss/400248?type=2

7. 两个人抛硬币，谁先抛到正面就获胜。先抛的人获胜的概率为？

第一次：正
第三次：反反正
第五次：反反反反正
…第N次：反反。。。。正
p=1/2+(1/2)³+(1/2)⁵+······+（1/2）⁽²ⁿ⁺¹⁾=1/2*(1+1/4+(1/4)²+……+(1/4)ⁿ)

当公比不为1时，等比数列的求和公式为：

Sn=[a1(1-q^n)]/(1-q)

8. 52张牌去掉大小王，分成26 * 2两堆，从其中一堆取4张牌为4个a的概率。

解析：

• 54张牌，分成两堆，共有M=(C54取26)*(C26取26)种分法。
• 54张牌，分为4张A和48张其他牌，N=(C2取1)(C48取22)(C26取26)种。

9. 一个硬币，抛了10次，8次为正，2次为反，求第11次抛硬币为正的概率。

极大似然估计求解：
likelihood = C⁸₁₀ * p⁸(1 - p)²。对数求导得到p = 0.8

10. 有8个箱子，现在有一封信，这封信放在这8个箱子中（任意一个）的概率为4/5，不放的概率为1/5（比如忘记了），现在打开1号箱子发现是空的，求下面7个箱子中含有这封信的概率为？

问题转化：X = 信放了，Y = 1号箱是空的，求P(X|Y)
P(X) = 4/5，P(Y|X) = 7/8，P(Y|not X) = 1

11. 已知N枚真硬币，M枚假硬币（两面都是国徽），R次重复采样都是国徽，问R次采样都是真硬币的概率？

12. 一对夫妻有2个孩子，求一个孩子是女孩的情况下，另一个孩子也是女孩的概率

注意题目说法：有一个男孩和第一个为男孩不一样
一对夫妇有两个孩子，有大有小，孩子可能性有 A男B女、A女B男、A男B男、A女B女
已知其中有一个男孩，所以只有 A男B女、A女B男、A男B男 三种情况
两个都是男的概率1/3

13. 某城市发生了一起汽车撞人逃跑事件，该城市只有两种颜色的车，蓝20%

14. 有50个红球，50个蓝球，如何放入两个盒子中是的拿到红球的概率最大。

两个箱子概率是1/2，选中某个箱子后又有选择的是不是红球的概率，所以最大概率就是一个红球放在一个箱子里，其余的99个球全放到另一个箱子。这样概率=0.5+0.5*（49/99）约等于0.75，这样为最大概率。

15. 某个函数f返回值为0/1，0返回的概率为p，写一函数返回0/1概率相等。

作者：铁蛋嘟嘟噜
链接：https://www.nowcoder.com/discuss/400248?type=2
来源：牛客网

public int g(){
        while (true){
            int a = f();
            int b = f();
            if(a!=b){
                return a;
            }
        }
    }
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

让该随机数生成器生成两个数，那么序列是00,01,10,11概率分别为 pp,p(1-p),(1-p)p,(1-p)(1-p)
很明显，这四种情况中存在两个独立的事件概率是相等。也就是01和10，那么我把01看成是0,10看成是1，那么他们输出的概率均为p(1-p)，其他的情况舍弃。这样就得到了0和1均等生成的随机器了。

16. 一个硬币，如何构建事件，使得事件发生的概率为2/3？

拒绝采样，抛两次硬币，如果两次都是反面的话，重新抛，一正一反的概率为2/3。

17. 如何使用蒙特卡洛采样计算圆周率π

在一个边长为2的正方形内均匀地随机投点，假设投n次，计算落到该正方形的内切圆里面的数量，假设为m，那么经过计算π/4 = m / n。

18. 一个有n*n个方格的棋盘，在里面放m个地雷，如何放保证在每个方格上放雷的概率相等。

需要一个生成1 - n的随机数生成器，然后每次调用两次生成x，y，作为地雷放置的位置，如果位置重复则舍弃，重复执行直到获得m个位置。

19. 一根棍子折三段能组成三角形的概率

假设折成的三段为x, y, L-x-y，则需要满足：

所求概率等于x+y=L/2、x=L/2、y=L/2三条直线所包围图形的面积除以直线(x+y)=L与x轴、y轴所包围图形的面积。

20. X，Y独立均服从（0,1）上的均匀分布，P{X²+Y²≤1}=?

答案：边长为1的正方形的内切圆的面积/1=\pi/4π/4

21. 甲乙轮流抛硬币，正面胜，先抛的人优势多大？

设甲先抛。
设甲胜率为x。
则第一次甲抛了反面之后，乙胜率为x，则第一次甲抛了反面后，乙胜率为x，从而甲胜率+乙胜率=x+0.5x=1，从而x=2/3。

22. 扔骰子，最多扔两次，第一次扔完可以自行决定要不要扔第二次，取最后一次扔骰子的结果为准，求：尽可能得到最大点数的数学期望。

1 2 3重新摇，4 5 6不摇。期望是4.25

23. 不断地抛一枚均匀硬币，当出现连续两个正面时停止。问期望的总次数是多少？

24. 赌徒破产问题

一个赌徒手中持有a美元，他和庄家进行抛均匀硬币的赌博，如果硬币为正面，赌徒获得1美元，否则失去1美元。当赌徒持有0美元时，以赌徒失败结束游戏；当赌徒持有a + b美元时，以庄家破产结束游戏。问赌徒的获胜概率。

25. 过生日

26. 三个范围在0-1的数，和也在0-1的概率

三角锥的体积 / 正方体的体积：

设所取的三个数分别为 x、y、z ,
则 0<x<1,0<y<1,0<z<1 ,
满足上述条件的点 P（x,y,z）构成一个棱长为 1 的正方体,体积为 V=111=1 ,
满足 x+y+z=1 的点是分别过（1,0,0）、（0,1,0）、（0,0,1）的平面,
而满足 x+y+z<1 的点位于正方体内、平面的下方,体积为 V1=1/31/2111=1/6 ,

27. 三个范围在0-1的数，平方和也在0-1的概率

球的体积 / 正方形的体积 = ( 4/3 π 1/2³ ) / 1

28. 抛硬币，正面继续抛，反面不抛。问抛的次数的期望

29. 不停地抛掷硬币直至连续3次出现正面，此时抛硬币的次数的期望是多少？

1反 + 1正1反 + 2正1反 + 3正

30. 砝码问题：2个轻的砝码，5个重的砝码和一个天平，几轮可以找到轻的砝码？

左右分别放两个

• 一样重
  • 选一边称一次，如果不一样重，再称另一边找到另外一个轻的，三次。
  • 选一边称一次，如果一样重，剩余的三个随便选两个称，一样重就是轻，三次。
• 不一样重
  • 把轻的称一下，如果一样重，就都是轻，两次。
  • 把轻的称一下，如果不一样重，找到一个轻的，把剩余三个随便选两个称，一样重剩余的就是轻的，三次。

如果不知道是轻还是重，怎么称？

https://www.zhihu.com/question/30529801

31. 三门问题

原先选一个门中奖1/3概率
剩下两个门