【动态规划】背包问题（详细总结，很全）

一、 背包问题

1. 背包问题总结

暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化！
背包问题是动态规划（Dynamic Planning） 里的非常重要的一部分,关于几种常见的背包，其关系如下：

在解决背包问题的时候，我们通常都是按照如下五部来逐步分析，把这五部都搞透了，算是对动规来理解深入了。

1）动规四部曲：

（1） 确定dp数组及其下标的含义
（2） 确定递推公式
（3） dp数组的初始化
（4） 确定遍历顺序

2） 递推公式总结：

1. 问能否能装满背包（或者最多装多少）：

	dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i])
1

2. 问装满背包有几种方法：

	dp[j] += dp[j - nums[i]]
1

3. 问背包装满最大价值：

	dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
1

4. 问装满背包所有物品的最小个数：

	dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1)
1

3） 遍历顺序总结：

• 二维dp数组01背包，先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历
• 一维dp数组01背包，只能先遍历物品再遍历背包容量，且第二层for循环是从大到小遍历。
• 求组合数：外层遍历物品，内层遍历背包
  求排列数：外层遍历背包，内层遍历物品
  求最小数：两层for循环的先后顺序无所谓

2. 01背包

有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i]
。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

1） 二维dp数组

对于背包问题，有一种写法是使用二维数组。

• 动规四部曲：
  1） 确定dp数组及其下标的含义

  • dp[i][j] 表示从下标为 [0 - i] 的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

  2） 确定递推公式

  • 不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以被背包内的价值依然和前面相同。)
  • 放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值
  • 所以递归公式：

  dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
1

3）dp数组的初始化
* 首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0
* 状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。
* dp[0][j]：存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大重量j。
那么很明显当 j < weight[0]时，dp[0][j] 应该是 0（背包容量比编号0的物品重量还小）
同理，当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]（背包容量足够放编号0物品)

4） 确定遍历顺序

• 遍历顺序总结：
  * 二维dp数组01背包，先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历
  * 一维dp数组01背包，只能先遍历物品再遍历背包容量，且第二层for循环是从大到小遍历。

代码实现

• python(二维dp数组）

bag_size = 4
weight = [1, 3, 4]
value = [15, 20, 30]

rows, cols = len(weight), bag_size + 1
dp = [[0]*cols for _ in range(rows)]

# 初始化dp数组.
for i in range(rows):
    dp[i][0] = 0
first_item_weight, first_item_value = weight[0], value[0]
for j in range(1, cols):
    if first_item_weight <= j:
        dp[0][j] = first_item_value

# 更新dp数组: 先遍历物品, 再遍历背包.
for i in range(1, rows):
    for j in range(1, cols):
        if weight[i] > j:  # 说明背包装不下当前物品.
            dp[i][j] = dp[i - 1][j]  # 所以不装当前物品.
        else:
            # 定义dp数组: dp[i][j] 前i个物品里，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。
            dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])
print(dp)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24

2） 一维dp数组

在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])
其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。

• 动规四部曲
  • 确定dp数组及其下标的含义
    在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。
  • 确定递推公式
    dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来，dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。
    dp[j - weight[i]] + value[i] 表示 容量为 j - 物品i 重量的背包 加上 物品i的价值。（也就是容量为j的背包，放入物品i了之后的价值即：dp[j]）
    此时dp[j]有两个选择：1）取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i；2）取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的
    所以递推公式：
    dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
  • dp数组的初始化
    dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。其他的也初始化为0，这样在递归的时候，才会被覆盖成较大的值。
  • 确定遍历顺序

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}
1
2
3
4
5
6

• 从大大小遍历的原因：
  倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！但如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！

代码实现

• python （一维dp数组）

weight = [1, 3, 4]
value = [15, 20, 30]
bag_weight = 4
# 初始化: 全为0
dp = [0] * (bag_weight + 1)

# 先遍历物品, 再遍历背包容量
for i in range(len(weight)):
    for j in range(bag_weight, weight[i] - 1, -1):
        # 递归公式
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
print(dp)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

3. 完全背包

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i]。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。

我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。
而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：

• 01背包

// 01背包  先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}
1
2
3
4
5
6
7

• 完全背包

// 1. 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
    
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}
// 2. 先遍历背包，再遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    	// 容量 > 物品重量， 则更新dp数组
        if (j >= weight[i])  dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

• 遍历顺序总结：
  • 纯完全背包的一维dp数组实现，先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。
  • 求组合数：外层for循环遍历物品，内层for遍历背包
  • 求排列数：外层for遍历背包，内层for循环遍历物品
  • 求最小数：两层for循环的先后顺序无所谓

代码实现

python

// 1.先遍历物品，再遍历背包
def test_complete_pack1():
    weight = [1, 3, 4]
    value = [15, 20, 30]
    bag_weight = 4

    dp = [0]*(bag_weight + 1)

    for i in range(len(weight)):
        for j in range(weight[i], bag_weight + 1):
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
    
    print(dp[bag_weight])

// 2. 先遍历背包，再遍历物品
def test_complete_pack2():
    weight = [1, 3, 4]
    value = [15, 20, 30]
    bag_weight = 4

    dp = [0]*(bag_weight + 1)

    for j in range(bag_weight + 1):
        for i in range(len(weight)):
            if j >= weight[i]: dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
    
    print(dp[bag_weight])


if __name__ == '__main__':
    test_complete_pack1()
    test_complete_pack2()
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32

4. 多重背包

多重背包和01背包是非常像的， 为什么和01背包像呢？
每件物品最多有Mi件可用，把Mi件摊开，其实就是一个01背包问题了。

• 举个例子：
  背包最大重量为10，物品为：
  
  请问背包能背的物品最大价值为多少？
  和如下情况有区别么？
  几乎没有区别。每个物品只用一次，这就转成了一个01背包问题了。

代码实现

• 两种解决方案如下：（python版本）

# 版本一: 将物品全摊开，转化为 01背包问题

weight = [1, 3, 4]
value = [15, 20, 30]
nums = [2, 3, 2]
bag_weight = 10
# 将物品全部展开，数量全为1
for i in range(len(nums)):
    if nums[i] > 1:
        weight.append(weight[i])
        value.append(value[i])
        nums[i] -= 1
# 动态规划五部曲：

dp = [0]*(bag_weight+1)
# 遍历物品
for i in range(len(weight)):
    # 遍历背包
    for j in range(bag_weight, weight[i] -1, -1):
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
print("".join(map(str,dp)))

# 版本二： 直接加上个数维度
weight = [1, 3, 4]
value = [15, 20, 30]
nums = [2, 3, 2]
bag_weight = 10
dp = [0] * (len(bag_weight) + 1)
for i in range(len(weight)): # 物品的重量
    for j in range(bag_weight, weight[i] - 1, -1): # 背包的重量
        # 以上是 01背包
        for k in range(1, nums[i]+1):
            if j >= k*weight[i]:
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - k*weight[i]] + k*value[i])
print("".join(max(str, dp)))

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36

知识星球的总结：