全连接神经网络 MLP_mlp神经网络

全连接神经网络–MLP

全连接神经网络，又叫多层感知机，是一种连接方式较为简单的人工神经网络，是前馈神经网络的一种。

MLP的神经网络架构

网络架构为：

通过输入层，隐藏层，输出层三个网络层组成，其中隐藏层可以有多层。

BP传播的原理

梯度下降法

正向传播，对网络层的输出进行传播，反向传播，对输入的梯度进行传播。

输出层：

• 偏置的梯度
• 权重的梯度
• 输入的梯度

中间层：

• 偏置的梯度
• 权重的梯度
• 输入的梯度

输出层的梯度

相关函数

$E=f_1(y_k)$

$y_k=f_2(u_k)$

$u_k={\sum }_{q=1}^m(y_q{w}_{qk}+b_k)$

E:损失值

$f_1$:损失函数

$y_k$:输出结果

$f_2$:激励函数

$u_k$:输入与权值乘积与偏置的求和

$y_j$:$y_j$为$y_q$中的一个

定义

${\delta }_k=\frac{\partial E}{\partial u_K}=\frac{\partial E}{\partial y_k}\frac{\partial y_k}{\partial u_k}$

$\frac{\partial E}{\partial y_k}$损失函数对$y_k$的偏微分

$\frac{\partial y_k}{\partial u_k}$激励函数对$u_k$的偏微分

输出层权重的梯度

$\partial w_{jk}=\frac{\partial E}{\partial w_{jk}}$

根据微分连锁公式

$\frac{\partial E}{\partial w_{jk}}=\frac{\partial E}{\partial y_k}\frac{\partial y_k}{\partial u_k}\frac{\partial u_k}{\partial w_{jk}}$

$\frac{\partial u_k}{\partial w_{jk}}=y_j$ : $u_k$对$w_{jk}$的偏微分

$\partial w_{jk}={\delta }_k{y}_j$

输出层偏置的梯度

$\partial b_k=\frac{\partial E}{\partial b_k}$

根据微分连锁公式

$\frac{\partial E}{\partial b_k}=\frac{\partial E}{\partial y_k}\frac{\partial y_k}{\partial u_k}\frac{\partial u_k}{\partial b_k}$

$\frac{\partial u_k}{\partial b_k}=1$ $u_k$对$b_k$的偏微分

$\partial b_k={\delta }_k$

输出层的输入梯度

输出层的输入梯度=中间层的输出梯度

$\partial y_j=\frac{\partial E}{\partial y_j}$

根据微分连锁公式

$\frac{\partial E}{\partial y_j}={\sum }_{r=1}^n\frac{\partial E}{\partial y_r}\frac{\partial y_r}{\partial u_r}\frac{\partial u_r}{\partial y_j}$

$\frac{\partial u_r}{\partial y_j}=w_{jr}$

$\partial y_j={\sum }_{r=1}^n{\delta }_r{w}_{jr}$

中间层的梯度

相关函数

$y_j=f(u_j)$

$u_j=w_{ij}{y}_i+b_j$

$y_j$为中间层的输出值

$f$为激励函数

$u_j$输入值与权重的乘积与偏置的和

中间层权重的梯度

$\partial w_{ij}=\frac{\partial E}{\partial w_{ij}}=\frac{\partial E}{\partial uj}\frac{\partial u_j}{\partial w_{ij}}=\frac{\partial E}{\partial y_j}\frac{\partial y_j}{\partial u_j}\frac{\partial u_j}{\partial w_{ij}}$

$\frac{\partial E}{\partial y_j}$为中间层的输出梯度

$\frac{\partial y_j}{\partial u_j}$为激励函数的微分

$\frac{\partial u_j}{\partial w_{ij}}=y_i$

定义${\delta }_j=\partial y_i\frac{\partial y_j}{\partial u_j}$则$\partial w_{ij}=yi{\delta }_j$

中间层偏置的梯度

$\partial b_j=\frac{\partial E}{\partial b_j}=\frac{\partial E}{\partial uj}\frac{\partial u_j}{\partial b_j}$

$\frac{\partial u_j}{\partial b_j}=1$

则$b_j={\delta }_j$

若网络层不止三层，即隐藏层不止三层，则$\partial y_i={\sum }_{q=1}^m{\partial }_q{w}_{iq}$

梯度计算公式总结

输出层

${\delta }_k=\frac{\partial E}{\partial u_k}=\frac{\partial E}{\partial y_k}\frac{\partial y_k}{\partial u_k}$

$\partial w_{jk}=y_j{\delta }_k$

$\partial b_k={\delta }_k$

$\partial y_j={\sum }_{r=1}^n{\delta }_r{w}_{jr}$

关于${\delta }_k$的求解，在使用不同的损失函数和激励函数组合时不同，其方法也是不同的，${\delta }_k$与输出层的神经元数量相同

中间层

${\delta }_j=\frac{\partial E}{\partial u_j}=\partial y_i\frac{\partial y_j}{\partial u_j}$

$\partial w_{ij}=y_i{\delta }_j$

$\partial b_j={\delta }_j$

$\partial y_i={\sum }_{q=1}^m{\delta }_q{w}_{iq}$

MLP的建构

import torch
import torch.nn as nn
def self_MLP(nn.module):
  def __init__(self):
    super(self_MLP,self).__init__()
    self.hidden = nn.Sequential(
      nn.Linear(10,128); # 10个输入，第一层隐藏层为10个神经元
      nn.ReLU();         # 激活函数为ReLU()函数 
      nn.Linear(128,64); # 第二个隐藏层为64个神经元
      nn.ReLU();
      nn.Linear(64,32);  # 第三个隐藏层为32个神经元
      nn.ReLU();
    )
  def forward(self,x):
    x = self.hidden(x)
    return x           # 返回x
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