批量梯度下降 | 随机梯度下降 | 小批度梯度下降_参数分批次下降

1. 什么是梯度？求梯度有什么公式？

1. 什么是梯度？ 区分：梯度向量、Jacobian、Hessian矩阵
   

   

2. 求梯度向量的公式：【以下公式的证明点击此处查看】
   

2. 批量梯度下降 | 随机梯度下降 | 小批度梯度下降 区别

1. 批量梯度下降：经过训练集的所有样本后才更新一次参数
   1. 最后得到的是一个全局最优解。
   2. 由于算法复杂度是看迭代次数，所以适用于样本量大的情况。
2. 随机梯度下降：每经过到训练集的一个样本就更新一次参数
   1. 最后得到的可能是全局最优解，也可能是局部最优解。
   2. 由于算法复杂度是看迭代次数，所以适用于样本量较小的情况。（样本量越少越容易更快的找到极值点）
3. 小批度梯度下降：是批量梯度下降与随机梯度下降的折中。对于所有要经过的点，经过一小批点更新一次参数
   1. 最后得到的可能是全局最优解，也可能是局部最优解。
   2. 适用于样本量折中的一种情况。

举一个例子：

感知机模型中经验风险为：

假设目标函数为经验风险最小化，那么对 R_emp(w, b) 求梯度有：(使用上面提到的求梯度的公式很容易得到以下结果)

1. 由于梯度是航叔上升或下降最快的方向，所以自然的得到参数的更新公式：
   
   很显然，这是经过训练集的所有样本后才更新一次参数。这就是批量梯度下降

2. 只需要将上面的求和去掉就变成了经过一个样本更新一次参数。即：随机梯度下降
   

3. 随机梯度下降的两种方式：原始形式 和 对偶形式

随机梯度下降的核心是每经过到训练集的一个样本就更新一次参数。而对于参数更新的公式也可以不同。

1. 原始形式的随机梯度下降：就是前面介绍的，根据批量梯度下降的参数迭代公式改进得到。

2. 对偶形式的随机梯度下降：根据原始形式的随机梯度下降的参数迭代公式改进得到。降低了计算量。

   注意：只要某方法有对应的对偶形式，那么它一定是对原始形式在以下3个方面之一做了优化：

   1. 降低时间复杂度
   2. 降低空间复杂度
   3. 原问题无法解决，使用对偶形式就可以解决。

还是拿感知机模型的例子举例：

1. 原始形式：
   

2. 改进过程：