背包问题看这一篇就够了（详细版）

目录

01背包

完全背包问题

多重背包问题

分布背包问题

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我们常说的背包问题其实分为好多种主要分为以下几种：01背包，完全背包，多重背包，分布背包。

所有的背包问题都是在有限V体积的背包中挑选物品，物品的属性分为w[i],v[i]表示第i个物品的价值和体积。从中找出那个能得到最大价值的选物品的方案。

通俗的来讲就是给你一个背包让你去装钻石每个钻石的价值和体积都是不一样的，最后你要装到最大价值的钻石。然后输出最大价值。

想要搞清楚这几种背包首先应该明白这几种背包的区别：

01背包

（每个物品只有一个，要么只选一个要么不选）

完全背包（每个物品有无数多个）

多重背包（每个物品有特定的数量s[i]个）

分布背包（物品分组，每一组只能选一个物品）

我们先从01背包来开始讲（一定要先把这个最基本的搞清楚，不懂得可以反复多看几遍，这样后面的就会更容易理解）

01背包，先看例题

题目来自洛谷[NOIP2005 普及组] 采药 - 洛谷

仔细去阅读这个题你会发现他是一个经典的01背包问题，这里的时间就相当于背包的体积。

这里就要用到dp（动态规划）的经典思想：状态表示和状态集合划分。

状态表示：

f[i] [j] 集合：为只从前i个物品中选且所耗费时间<=j的所有选法。

属性：值为这些所有选法的最大值。、

状态集合划分（最重要的部分）：

这里的f[i] [j]集合划分是通过前i-1个物品来划分的

f[i] [j] 不含第i个物品 : f[i-1] [j]

含第i个物品： f[i-1] [j-v[i]] +w[i]

这样就可以通过f[i-1]层 来划分第f[i]层

这时要求最大值就可以通过下面代码来实现

f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i-1][j-v[i]]+w[i]);

这个就是背包问题的核心代码。

这里还需要了解的是 方程的优化

这里的优化指的就是降维（将二维的转变成一维的）

由于f[i] [j] 是由第i-1 层推出的， 就可以通过轮换使用同一个空间去存储也就是当第i-1层没用的时候，就可以用它来存储第i层,所以我们其实只需要一层就行了。

也就是

f[j]=max(f[j], f[j-v[i]]+w[i]);

但如果你仅仅只是将该公式替换掉那你就错了。我们还需要进行一点小改动。

原来我们的 j 是从小到大进行枚举的 如果我们只是换个公式的话，你会发现，当我们在计算f[j]的时候要用到f[j-v[i]], 而同一层的f[j-v[i]]在这之前已经算过了，此时的f[j-v[i]] 就等价于原来的f[i] [j-v[i]]。而我们想要的是f[i-1] [j-v[i]]. 此时只需要将j从大到小进行枚举即可,因为j从大到小的话,在计算f[i] 时,f[j-v[i]],就是第i-1层恰好符合原来的公式.

 全部代码如下(优化后的)

#include <iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int a[110],t[110],T,f[1100],m;
int main()
{
    cin>>T>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d %d",&t[i],&a[i]);
        getchar();
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
        for(int k=T;k>=t[i];k--)
    {
        f[k]=max(f[k],f[k-t[i]]+a[i]);
    }
    
    cout<<f[T];
    return 0;
}

完全背包问题

完全背包和01背包不同点就是他每种物品有无限个

我们可以先安装01背包的思路去分析(01没看懂的再去看一遍)

状态表示：

f[i] [j] 集合：为只从前i个物品中选且总价值<=j的所有选法。

属性：值为这些所有选法的最大值。

状态集合划分（最重要的部分）：

这里的f[i] [j]集合划分是通过前i-1个物品来划分的

f[i] [j] 不含第i个物品 : f[i-1] [j]

含第i个物品1 个： f[i-1] [j-v[i]] +w[i]

含.......2个: f[i-1] [j-2v[i]] +2w[i]

含.......3个: f[i-1] [j-3v[i]] +3w[i]

......

最后我们可以得到

f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i-1][j-v[i]]+w[i], f[i-1][j-2*v[i]]+2*w[i].....);

显然这个是不能直接算的.

不过我们可以看一下f[i] [j-v[i]]的公式

f[i][j-v[i]]=max(f[i-1][j-v[i]],f[i-1][j-2*v[i]]+w[i],f[i-1][j-3*v[i]]+2*w[i],.....);

这样我们就可以将f[i] [j] 的第二项开始到最后用f[i] [j-v[i]] 来替换

f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i][j-v[i]]+W[i])

这就是完全背包的公式, 个人感觉还是推出公式比较好理解一些

还有一种理解就是

对f[i] [j]进行集合划分

不包含第i个物品 f[i-1] [j]

包含第i个物品 (我们可以通过减去一个第i件物品来表示它) f[i] [j-v[i]]+w[i], 有点抽象,需要慢慢理解.

注意: f[i] [j-v[i]]表示的是从前i个物品中选且价值<=j-v[i] 的所有选法(会选到第i个物品)

当然这个公式我们也可以进行路经压缩,因为后面那一项是第i层,就不需要再像前面那样,只需要将公式变成下面即可

f[j]=max(f[j], f[j-v[i]]+w[i]);

例题

题目来自洛谷疯狂的采药 - 洛谷

完整代码如下

#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAX=11000;
int m,T,a[MAX],t[MAX];
long long dp[10001000];
int main()
{
    cin>>T>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d %d",&t[i],&a[i]);
        getchar();
        for(int j=t[i];j<=T;j++)
        {
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-t[i]]+a[i]);
        }
    }
 
    cout<<dp[T];
    return 0;
}

多重背包问题

每件物品都有特定的数量 s[i]个，如果朴素的计算的话要用到三重循环时间复杂度太高

这里我们就要讲一下他的核心优化方法（二进制优化）

假设有种物品数量为s[i]个，那么就可以将他分为1，2，4，8，..... 2^k.....个

举个例子： 假如我们有苹果17个，那么我们就可以将他分为1，2，4，8，2，个。

那我们这样分的目的在哪里呢？

是因为2^0, 2^1, 2^2, 2^3...2^k,可以表示1~2^(k+1)-1中的任何一个数。

如果最后剩余的数量小于2^(k+1)个，那么最后一个部分就是剩余的数量，这样就可以表示0~m中的任何一个数。

就比如 我要选10个苹果才能达到我所需要的最大值的方案，我就可以选8个和2个苹果的组合。

这样的话我们就可以将多重背包问题看成01背包问题

比如：17个苹果，我们可以看成5个物品，分别是1， 2，4，8，2个苹果；每次要选就要选对应个数的苹果只需要将价值和重量改一下就是01背包问题

例题如下

题目地址：宝物筛选 - 洛谷

完整代码如下

#include<iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int v[220000], w[220000],f[220000];
int main() {
   int n,W,cnt=0;
   cin>>n>>W;
   for(int i=1;i<=n;i++)
   {
       int a,b,m;
       scanf("%d%d%d",&a,&b,&m);
       int k=1;
       while(k<=m)
       {
           v[++cnt]=a*k;
           w[cnt]=b*k;
           m-=k;
           k*=2;
       }
       if(m)//判断最后m是否有剩余
       {
           v[++cnt]=a*m;
           w[cnt]=b*m;
       }
   }
    
   for(int i=1;i<=cnt;i++)//这里就可以看成01背包问题了
       for(int j=W; j>=w[i];j--)
       {
           f[j]=max(f[j], f[j-w[i]]+v[i]);
       }
   cout<<f[W];
    return 0;
}

分布背包问题

分布式背包与01背包的不同点在于增加了一个组的关系，每个组内只能选一个物品。那我们只需要增加一个组内枚举就可以了。套路还是按照01背包来的

例题

题目地址通天之分组背包 - 洛谷

完整代码

#include<iostream>
using namespace std;
int v[1010][1010], w[1010][1010],p[1100],f[1100];
int main() {
   int m,n,cnt=0;//cnt为·组数
   cin>>m>>n;
   for(int i=1;i<=n;i++)
   {
       int a,b,c;
       cin>>a>>b>>c;
       cnt=max(cnt,c);
       p[c]++;
       w[c][p[c]]=a;
       v[c][p[c]]=b;
   }
   for(int i=1;i<=cnt;i++)
       for(int j=m;j>=0;j--)
           for(int k=1;k<=p[i];k++)//增加的枚举情况
           {
               if(w[i][k]<=j)//w[i][k]表示第i组第k个物品
               {
                   f[j]=max(f[j], f[j-w[i][k]]+v[i][k]);
               }
           }
   cout<<f[m];
    return 0;
}

总的来看所有背包问题都可以按照01背包的思路来进行推导

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