0－1背包问题--动态规划_动态规划解决01背包的时间复杂度

问题描述：

• 给定一个物品集合s＝｛1，2，3，…，n｝，物品i的重量是wi，其价值是vi，背包的容量为W，即最大载重量不超过W。在限定的总重量W内，我们如何选择物品，才能使得物品的总价值最大。
• 如果物品不能被分割，即物品i要么整个地选取，要么不选取；
• 不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分物品i，则该问题称为0—1背包问题。
• 如果物品可以拆分，则问题称为背包问题，适合使用贪心算法。

算法分析：
假设xi表示物品i装入背包的情况，xi＝0，1。

• 当xi＝0时，表示物品没有装入背包；
• 当xi＝1时，表示把物品装入背包。
  
  因此问题就归结为找到一个满足上述约束方程，并使目标函数达到最大的解向量：
  X＝{x1，x2，…，xn},

递归关系分析：

• 0—1背包问题具有最优子结构性质，设所给0—1背包问题的子问题：

• i≤k≤n的最优值为p(i，j)。

• 是背包容量为j，可选物品为i，i＋1，…，n时0-1背包问题的最优值。
  

• 建立计算p(i，j)的递归式如下：
  
  样例分析：
  背包的容量为5.
  
  m[2][1]=max(m[3][1],m[3][0]+10)=10;
  m[2][2]=max(m[3][2],m[3][1]+10)=15;
  m[2][3]=max(m[3][3],m[3][2]+10)=25;
  m[2][4]=max(m[3][4],m[3][3]+10)=30;
  m[2][5]=max(m[3][5],m[3][4]+10)=35;
  m[1][5]=max(m[2][5],m[2][3]+12)=37;
  

//计算0－1背包问题的动态规划算法
#define NUM 50	//物品数量的上限
#define CAP 1500	//背包容量的上限
int w[NUM];		//物品的重量
int v[NUM];		//物品的价值
int p[NUM][CAP];	//用于递归的数组
//形参c是背包的容量W，n是物品的数量
void knapsack(int c, int n) 
{ 
　　//计算递推边界
　　int jMax=min(w[n]-1,c); 		//分界点
　　for( int j=0; j<=jMax; j++)   p[n][j]=0; 
　　for( int j=w[n]; j<=c; j++)    p[n][j]=v[n];
　　for( int i=n-1; i>1; i--) 		//计算递推式
　　{ 
	jMax=min(w[i]-1,c);
	for( int j=0; j<=jMax; j++) 
	　　p[i][j]=p[i+1][j]; 
	for(int j=w[i]; j<=c; j++) 
	　　p[i][j]=max(p[i+1][j], p[i+1][j-w[i]]+v[i]); 
　　} 
　　p[1][c]=p[2][c]; 			//计算最优值
　　if (c>=w[1])   p[1][c]=max(p[1][c], p[2][c-w[1]]+v[1]); 
}
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算法时间复杂度：
主要是计算数组p的时间，其时间复杂度为O(nW)
计算0－1背包问题的最优解：

void traceback( int c, int n, int x[ ]) 
{ 
　for(int i=1; i<n; i++) 
　{
　　if (p[i][c]==p[i+1][c]) x[i]=0; 
　　else { x[i]=1; c-=w[i]; } 
　}
　x[n]=(p[n][c])? 1:0; 
}
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