递归与回溯5：剪枝优化

我们说过，回溯法虽然是暴力搜索，但也有时候可以有点剪枝优化一下的，主要就是去掉那些不必要的递归，从而提高执行效率。例如假如有五个男孩子都和一个女生说要厮守终生。她会和这五个人都先过一辈子再确定谁会真正做到吗？当然不会。而是会先思考一下，有一个可能导出勾勾搭搭，那她可以认为这个人只是一时兴起，剪掉！有一个可能太窝囊了，什么都不会，那她可以认为和他在一起会非常累，剪掉！有一个长得太对不起祖宗，可能会影响下一代，剪掉！最后就剩下两个，再进一步考虑！这就是剪枝！
在上一篇回溯的题目中，我们得遍历过程是这样的：

for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
    path.addLast(i);
    dfs(n, k, i + 1, path, res);
}

这个遍历的范围是可以剪枝优化的，怎么优化呢?
来举一个例子，n = 4，k = 4的话，那么第一层for循环的时候，从元素2开始的遍历都没有意义了。 在第二层for循环，从元素3开始的遍历都没有意义了。

图中每一个节点(图中为矩形)，就代表本层的一个for循环，那么每一层的for循环从第二个数开始遍 历的话，都没有意义，都是无效遍历。所以，可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。

根据一个材料的说明，对于任何一次循环，已经选择的元素个数就是path.size()，还需要的元素个数为: k - path.size()，然后只要选择从开始到n - (k - path.size()) + 1就行了，但是我没太想明白为什么用这个。后面想清楚了再补充。

    public static void dfs(int n, int k, int startIndex, Deque<Integer> path, List<List<Integer>> res) {
        if (path.size() == k) {
            res.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n-(k-path.size())+1; i++) {
            path.addLast(i);
            dfs(n, k, i + 1, path, res);
            path.removeLast();
        }
    }

回溯的剪枝优化根据题目情况会有很多变化，这个只能具体问题具体分析了 。