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《机器学习by周志华》学习笔记-线性模型-02

作者：不正经 | 2024-04-18 09:36:56

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1、对数几率回归

1.1、背景

上一节我们考虑了线性模型的回归学习，但是想要做分类任务就需要用到上文中的广义线性模型。

当联系函数 $g(\cdot )$ 连续且充分光滑，考虑单调可微函数 $g(\cdot )$ ，令：

$y=g^{-1}(w^{T}+b)$

1.2、概念

找一个单调可谓函数 $g(\cdot )$ ，将分类任务的真实标记 $y_{i}$ 与线性回归模型的预测值 $f(xi)$ 联系起来，也叫做「Heaviside函数」。

在二分类任务中，输出的真实标记 $y_{i}\in \left \{ 0,1 \right \}$ ，而线性回归模型产生的预测值 $f(x)=w^{T}+b$ 是实数值。于是我们将 $f(x)$ 转化为0、1值。最理想的情况就是「单位阶跃函数（unit-step function）」，如下所示：

$y=\begin{cases} 0, \text{ f(x)< 0 } \\ 0.5, \text{ f(x)= 0 } \\ 1, \text{ f(x)> 0 } \end{cases}$

若 $f(x)> 0$ ,就判为正例；

若 $f(x)< 0$ ,就判为反例；

若 $f(x)= 0$ ,则可任意判别；

如下图所示（红色部分）

黑色部分函数，则称为「对数几率函数」，简称「对率函数」。

从上图可以看出，「单位阶跃函数（unit-step function）」（2条红线+一个点）不连续，因此不能直接用做 $g^{-1}$ ,我们可以在上图中，用「单位阶跃函数」的「替代函数」（对率函数）来用作 $g^{-1}$ 。并且需要该函数单调可微。可得出：

$g^{-1}=y=\frac{1}{1+e^{-f(x)}}=\frac{1}{1+e^{-(w^{T}+b)}}$

Sigmoid函数：

Sigmoid函数即S形函数。「对率函数」是Sigmoid函数最重要的代表。我们将会在后面「神经网络」将看到他在神经网络中的重要作用。

综上所述，「对率函数」将f(x)转化为一个接近0或1的y值。并且值得范围在f(x)=0附近变化斜率高。

上述式子可以变化为：

$ln\frac{g^{-1}}{1-g^{-1}}=w^{T}+b$

将 $g^{-1}$ 视作样本x为正例的可能性。则 $1-g^{-1}$ 视作样本x为负例的可能性。两者的比值：

$\frac{g^{-1}}{1-g^{-1}}$

称为「几率（odds）」

几率（odds）:

Odds=P/(1-P)

Odds（几率）的计算公式为Odds=P/(1-P)，这里的P是指某个事件发生的概率。

Odds是用来表示一个事件发生与不发生的比例，当P=0.5时，Odds=1，当P=0，则Odds趋向于无穷大，反之，当P=1，则Odds趋向于0。

对几率（odds）取对数，则得到了「对数几率（log odds）」,也叫做logit。如下表示：

$ln\frac{g^{-1}}{1-g^{-1}}$

上述式子，有文献译为「逻辑回归」。但中文「逻辑」与logisitic和logit的含义较大，此处作者翻译为「对数几率回归」，简称「对率回归」。

因为 $ln\frac{g^{-1}}{1-g^{-1}}=w^{T}+b$ 中的 $w^{T}+b=y$ ，故我们可以得出：

该等式左边是：线性回归模型的预测结果

而等式右边是：该模型的真实标记 $yi$

因此，我们得出的公式结果，实际上就是在用线性回归模型的预测结果，去逼近真实标记 $yi$ 的对数几率。所以其对应的模型称为「对数几率回归」。

需要注意的是，它的名字中虽然有回归，但实际是却是一种分类学习方法。其优点如下：

他是直接对分类可能性进行建模，无需事先假设数据分布，这样就避免分布不准确所带来的问题。

它不仅是预测出「类别」，而是可得到近似概率预测，这对许多需利用概率辅助决策的任务很有用。

此外，对数函数是任意阶可导的凸函数，有很好的数学性质，现有的许多数值优化算法都可直接用于求取最优解。

1.3、求解

根据1.2的概念，本章主要求解公式中的w和b。如果我们将上述式子中的 $g^{-1}$ 视为「后验概率」估计 $p(y=1|x)$ ,，则上述式子可以重写为：

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