动态规划-数字三角形_数字三角形动态规划算法思想

题目描述

数字三角形问题。有一个由非负整数组成的三角形（由二维数组构成），第一行只有一个数，除了最下行之外的每个数的左下方右下方各有一个数。从第一行的数开始，每次可以往左下或者右下方走一格，直到走到最下行，把沿途经过的数全部加起来，如何能使这个数最大。
–源自刘汝佳算法竞赛入门经典

分析策略

首先依据动态规划的思想，我们首要进行的状态 状态转移方程的确定。
动态规划的核心就是 状态和状态转移方程。
下面出自刘书：
把当前位置（i，j）看成一个状态，然后定义状态(i,j)的指标函数d(i,j)为从格子(i,j)出发能得到的最大和(包括格子本身的值)。在这个状态定义下，原问题的解是d[1][1]
状态是如何转移的。从格子(i,j)出发有两种决策。如果往左走就是(i+1,j)则需要从(i+1,j)出发后能得到最大值，同理往右走亦是如此,然后要取得两者中的最大值再加上原来(i,j)格子的数的值
d[i][j]=a[i][j]+max{d[i+1][j],d[i+1][j+1]}
结束条件就是当i到达边界即可，所以从边界开始采取从底向上的计算。

解决算法

刘书称之为：记忆化搜索与递推
方法一：递归计算：

int solve(int i,int j){
	return a[i][j]+(i==n?0:max(solve(i+1,j),solve(i+1,j+1)));
}
1
2

采用递归方法的弊端就在于时间效率太低，太低的原因就在于子问题的重复计算。
方法二:递推计算

int solve(){
	int i,j;
	for(j=1;j<=n;j++) d[n][j]=a[n][j];
	for(i=n-1;i>=1;i--)
		for(j=1;j<=i;j++)
			d[i][j] = a[i][j] +max(d[i+1][j],d[i+1][j+1]);
}
1
2
3
4
5
6

O(n^2) 一般递推时间复杂度：状态总数 * 决策个数 * 决策时间

方法三：记忆化搜索

int solve(int i,int j){
	if(d[i][j]>0) return d[i][j];
 	return d[i][j]=a[i][j]+(i==n?0:max(solve(i+1,j),solve(i+1,j+1)));
}
1
2
3

算法设计与分析中称为备忘方法
将d[i][j]的值保存下来 进行下一次递归