数据结构（c++描述胡学钢）课后题解答：第二章——栈_数据结构胡学钢答案

1. 假设栈S的一个输入序列为1, 2, 3, 4, 5，则可得到多个输出序列，如1, 2, 3, 4, 5就是一个合法的输出序列，同理，5, 4, 3, 2, 1和3, 2, 1, 4, 5也分别是其合法的输出序列。分别求解下列问题：
   （1）判断序列1, 3, 4, 5, 2是否是合法的输出序列;
   （2）输入序列1, 2, 3, 4, 5，求出其所有的合法的输出序列;
   （3）设计算法以判断对输入序列1, 2, 3, …, n，序列a1, a2, a3,
   …, an是否是该栈的合法的输出序列（假设输出序列在数组A中）;
   （4）给出栈的合法的输出序列的规律。

(1)是。逻辑：1进1出，2进，3进3出，4进4出，5进5出，2出。
(2)思路：可以把入栈记为1，出栈记为0.那么前缀子序列中1的个数必须大于等于0的个数，即入栈次数要大于等于出栈次数。对于序列1，2，3，4，5，其所有元素入栈和出栈次数总和为10次，比如：
1 1 1 0 0 1 0 1 0 0，即对应过程为1进2进3进3出2出4进4出5进5出1出，结果为3 2 4 5 1。那么现在的问题就转换为如何求出所有符合条件的0 1序列了。
(3)思路：对于一组序列，其合法的输出形式只有三种
①全部倒序输出。
②全部顺序输出。
③前两项相结合。
因此判断标准为，n后的每一项必须倒序输出。
例： 1 2 5 4 3合法，1 2 5 3 4非法
源代码：
#include
#define N 5//宏定义，方便修改N的值
using namespace std;
void main(){
int i, j, k,a[N];
int s, flag1, flag2;
for (i = 0; i < N; i++)
cin>>a[i];//输入数组
for (i = 0; i < N; i++){
flag1 = 0;
flag2 = 0;
for (j = i + 1; j < N; j++)//寻找s[i]之后第一个比s[i]小的
if (a[j] < a[i]){
s = a[j];//s[j]是s[i]之后第一个比s[i]小的
flag1 = 1;
break;
}
if (flag1 == 1)
for (k = j + 1; k < N; k++)
if (a[k] < a[i])//s[j]之后如果还有比s[i]小的数
if (a[k] <s)//都必须小于它之前的一个比s[i]小的数
s = a[k];//并更新temp
else{//否则，出栈序列非法
flag2 = 1;
break;
}
if (flag2 == 1)
{
cout<<“NO”;
exit(0);//退出程序
}
}
cout<<“YES”;
}
实例：
（4）其规律可以用递归的思想推理。设F(n)为n个顺序数的合法输出个数。
当n=0或1时，F(n)=1
当n=2时，F(n)=2 1 2或2 1
当n=3时，F(n)=5 1 2 3或1 3 2 或3 2 1或2 3 1或2 1 3
当n=4时，若1在第1位，则后面有F(3)种可能；若1在第2位，则第1位一定为2，后面有F(2)种可能；若1在第3位，则前面有F(2)种可能；若1在第4位，则前面有F(3)种可能。故F(4)=F(3)*F(1)+F(2)*F(2)+F(2)*F(2)+F(1)*F(3)。
发现当有n个数时，F(n)=F(a)F(n-a),其中a取1到n。将其所有结果求和即可。结果为：卡特兰数 F(n)=C(2n,n)/(n+1)
参考：360百科https://baike.so.com/doc/6127416-6340576.html
2.如果顺序栈中的第二个分量是栈顶指针而不是记录元素个数的变量，应如何实现各算法？
若用top指针替换分量count。假设在一个具有n个单元的顺序栈中，以地址低端(即下标为0的单元)作为栈底。
(1).判断栈是否为空：
即判断top指针所指地址是否为0。
(2).取栈顶元素：
即取top指针所指地址。设用x储存所取元素，则x=⊤top=top-1;
(3).入栈运算：
即top指针向前移动一位，其所对应的地址储存x。(s->top)=x;s->top++;
(4).出栈运算： x=top->data; top=top->next;
(5).判断栈是否为满：
即判断top指针所指地址是否为顺序栈长度。

4.对表达式#5+3*(12+4)/4-8#，依次画出在求解过程中的各步骤中的栈的状态。