数据结构---二叉树（树和二叉树的基本概念、堆的概念和堆的实现、堆排序、二叉树的顺序和链式结构及其实现、相关面试题解析）_k11623 二叉树

一、树和二叉树的基本概念和结构

1.树的基本概念和结构

树：树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

树的根节点：如果一颗树中的某个节点没有前节点，就称该节点为树的前驱节点。一棵树中有且仅有一个跟节点。

树的特点：树的任何一颗子树都是互不相交的；除了根节点以外，每个节点有且仅有一个父节点；一棵N个节点的树有N-1条边。

1）树的相关概念（蓝色字体为重点）

节点的度：一个节点含有子节点的个数，称为节点的度。（叶子节点的度为0）

叶节点（终端节点）：度为0的节点称为叶子节点或终端节点。

非终端节点（分支节点）：度不为0的节点称为非终端节点或分支节点。

双亲节点（父节点）：如果一个节点含有的子节点不为0，则该节点称为其子节点的双亲节点，又称父节点。

孩子节点（子节点）：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点。

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点 。

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

2）树的表示（了解）

       树的表示方法有很多种，如双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等。这里简单了解孩子兄弟表示法，孩子兄弟表示法也是树的最常用的表示方法。

typedef int DataType;

struct Node

{

       struct Node * _firstChild1 ; // 第一个孩子结点

       struct Node * _pNextBrother ; // 指向其下一个兄弟结点

       DataType _data ; // 结点中的数据域  

};

3）树的应用举例：计算机中文件系统结构就是一个树形结构 

2.二叉树的基本概念和结构

二叉树：一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成；这棵树的所有节点的度小于等于2。

二叉树的特点：每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点；二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。

1）二叉树和特殊的二叉树

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1 ，则它就是满二叉树。（除叶子节点外其余节点的度均为2的二叉树称为满二叉树）

完全二叉树（重点）：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。（除最后一个非叶子节点的度为1外，其余非叶子节点的度均为2）

3）二叉树的性质（重点）

①若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点.

②若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h- 1.

③对任何一棵二叉树, 如果度为0的叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1

④若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=Log2(n+1)