区间问题（区间贡献问题超全详解）_给两个长度为n的数组a,b,请你计算有多少个区间[l,r]满足al异或al+1...异或ar=bl异

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区间贡献需要配合例题使用能够理解更深
区间贡献：就是对于单个的元素求它对于整个区间的贡献，从而达到减小算法复杂度的目的。

1.题目一

题目链接

大概题意：
给定你n个数字$a_i$，请你求出有多少个区间[l,r]，满足该区间的数字之和等于其区间长度。
n<=1e5,-1e9<=<=1e9

思路：
前缀和+思维

对于两个数$a_i,a_j$来说,如果满足以$a_i$为左界，以$a_j$为右界包含的区间和等于区间长度
则满足$sum[j]-sum[i-1]=j-i+1$
将公式转换一下就是$sum[j]-j=sum[i-1]-(i-1),(i\le j)$
更一般的来说，将公式变为$sum[j]-j=sum[i]-i,(i<j)$

接下来的问题就变为找sum[i]-i出现的个数，对于$a_j$来说，前面有出现多少个sum[j]-j，结果就加上多少，表示$a_j$能够与前面的数组成满足条件的区间数。
对于每个$a_j$来说，前面与sum[j]-j相同的个数都要加上去，所以就是要累加$sum[j]-j$出现的次数，以便后边使用。

注意：
一定要初始化一个值，因为这我找了好长时间的错。
mp[0]代表初始化第0个元素


为什么呢?


因为如果表示$a_1$到$a_j$整个区间时，初始式子为
$sum[j]-sum[0]=j-0$，把0这个元素记上去，才能记录表示整个区间的答案。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e6+5;
ll a[N];
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	map<ll,ll>mp;
	ll ans=0,sum=0;
	mp[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
		sum += a[i];
		ans += mp[sum-i];
		mp[sum-i]++;
	}
	cout<<ans<<'\n';
	return 0;
 } 
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相同套路的题目（几乎是异曲同工）多练习几道题就会豁然开朗：

链接1 的第二和第三题
链接2 的C题

可以点一下看看，对自己的帮助和提高很大​

2.题目二（2021.8.28ccpc网络赛）

题意：
一个机器人位于一个二维的方格中的一个，可以执行UDLR的命令，分别对应向上下左右走一格，给出一串命令，求有多少个子串组成的命令能够让机器人回到原来的位置

思路：
设置两个变量a,b分别表示上下走的，左右走的变量的状态，上和右对变量加一，否则减一，即求a和b的一个前缀和，如果一段区间$[x,y]$的子串能够走到原点，那么这段对应的a和b的值都为0，要求出这段a和b的值，利用前缀和的知识，也就是x-1位置的前缀和等于y位置的前缀和，那么这段能走到原点。

故我们使用$map$记录了两个变量a和b的前缀和出现的次数，出现多少次相等的前缀和，那么这个位置就对应多少个可以走到原点的子串

注意：
要初始化$map[0,0]=1$

#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef vector<int> vi;
typedef vector<ll> vl;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll linf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double eps = 1e-6;
const int mod = 1e9+7;
const int N = 1e5+5,M = 2e5+5;

ll n,m,k;
char s[N];
void solve()
{
    cin>>n;
    cin>>s+1;
    ll res = 0;
    map<pii , int> mp ;
    int a=0,b=0;
    mp[{0,0}] = 1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(s[i]=='U') a+=1;
        else if(s[i]=='D') a-=1;
        else if(s[i]=='R') b+=1;
        else if(s[i]=='L') b-=1;
        res += mp[{a,b}];
        mp[{a,b}] += 1;
    }
    cout<<res<<'\n';
}
int main()
{
//    ios::sync_with_stdio(false);
//    cin.tie(0),cout.tie(0);
    int _;
    cin>>_;
//    _ = 1; 
    while(_--)
    {
        solve();
    }
    return 0;
}
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