跳马问题（骑士周游问题）初探

跳马问题也称为骑士周游问题，是算法设计中的经典问题。其一般的问题描述是：

考虑国际象棋棋盘上某个位置的一只马，它是否可能只走63步，正好走过除起点外的其他63个位置各一次？如果有一种这样的走法，则称所走的这条路线为一条马的周游路线。试设计一个算法找出这样一条马的周游路线。

此题实际上是一个汉密尔顿通路问题，可以描述为：

在一个8×8的方格棋盘中，按照国际象棋中马的行走规则从棋盘上的某一方格出发，开始在棋盘上周游，如果能不重复地走遍棋盘上的每一个方格，
这样的一条周游路线在数学上被称为国际象棋盘上马的哈密尔顿链。请你设计一个程序，从键盘输入一个起始方格的坐标，由计算机自动寻找并打印
出国际象棋盘上马的哈密尔顿链。

能够想到的思路是用回溯，马在每一个点最多有8种跳法，遍历所有这8种可能的跳法即可得到结果。这是回溯算法中的子集树的类型，与典型的子集树问题类型不同的是，这里每一枝有8种可能的选择，而典型的子集树问题只有0，1两种选择。

下面是该算法的实现：

/**/ /*
* File: KnightTravel1.cpp
* Author: eshow
* Date: 2007-09-10
* Question:
考虑国际象棋棋盘上某个位置的一只马，它是否可能只走63步，正好走过除起点外的其他63个位置各一次？如果有一种这样的走法，则称所走的这条路线为一条马的周游路线。试设计一个算法找出这样一条马的周游路线。
* Solution:
使用回溯法，马每一步至多有8种跳法，遍历这8种跳法，得到结果。这是一个子集树的回溯问题，每一个step[i]都在[0, 7]之间。设棋盘大小为N * N，则时间复杂度为O(8^(N * N))，当N = 8时，算法很慢。
*/

#include < stdio.h >
#include < stdlib.h >
#include < memory.h >

const int N = 8 ;

int step[N * N] = ... {-1} ;
int chess[N][N] = ... {0} ;

int Jump[ 8 ][ 2 ] = ... {...{-2,-1},...{-1,-2},...{1,-2},...{2,-1},...{2,1},...{1,2},...{-1,2},...{-2,1}} ;

int p = 0 ;

int canJump( int x, int y)
... {
if (x >= 0&& x < N && y>= 0&& y < N && chess[x][y]== 0)
return 1;
return 0;
}

void BackTrace( int t, int x, int y)
... {
if (t >= N * N)
...{
p++;

for (int i= 1; i<= N * N -1; ++i)
...{
printf("%d", step[i]);
}
printf("");
for (int i= 0; i< N; ++i)
...{
for (int j= 0; j< N; ++j)
printf("%2d", chess[i][j]);
printf("");
}
printf("");
exit(1);
//return;
}
else
...{
for (int i= 0; i< 8;++i)
...{
if (canJump(x+ Jump[i][0], y+ Jump[i][1]))
...{
x+= Jump[i][0];
y+= Jump[i][1];
chess[x][y]= t + 1;
step[t]= i;
BackTrace(t+ 1, x, y);
chess[x][y]= 0;
x-= Jump[i][0];
y-= Jump[i][1];
}
}

}
}

int main()
... {
int x = 0;
int y = 0;
chess[x][y]= 1;
BackTrace(1, x, y);
printf("All Results Number = %d", p);
}

上述简单回溯算法的时间复杂度是O(8^(N * N))，因为每次都按照Jump定义的顺序遍历，因此在算某些点的时候会很慢。

可以考虑采用启发式的遍历规则：即向前看两步，当每准备跳一步时，设准备跳到(x, y)点，计算(x, y)这一点可能往几个方向跳（即向前看两步），将这个数目设为(x, y)点的权值，将所 有可能的(x, y)按权值排序，从最小的开始，循环遍历所有可能的(x, y)，回溯求出结果。算法可以求出所有可能的马跳棋盘路径，算出一个可行 的结果很快，但在要算出所有可能结果时，仍然很慢，因为时间复杂度本质上并没有改变，仍为O(8^(N * N))。下面是实现这一思想的代码：

/**/ /*
* File: KnightTravel2.cpp
* Author: eshow
* Date: 2007-09-10
* Question:
考虑国际象棋棋盘上某个位置的一只马，它是否可能只走63步，正好走过除起点外的其他63个位置各一次？如果有一种这样的走法，则称所走的这条路线为一条马的周游路线。试设计一个算法找出这样一条马的周游路线。
* Solution:
使用回溯法，马每一步至多有8种跳法，遍历这8种跳法，得到结果。这是一个子集树的回溯问题，每一个step[i]都在[0, 7]之间。设棋盘大小为N * N，则时间复杂度为O(8^(N * N))，当N = 8时，算法很慢。
优化：当每准备跳一步时，设准备跳到(x, y)点，计算(x, y)这一点可能往几个方向跳（即向前看两步），将这个数目设为(x, y)点的权值，将所 有可能的(x, y)按权值排序，从最小的开始，循环遍历所有可能的(x, y)，回溯求出结果。算法可以求出所有可能的马跳棋盘路径，算出一个可行 的结果很快，但当N = 8时，要计算所有可能的结果仍然很慢，原因是结果太多了。BackTrace()函数实现了这种思想。
*/

#include < stdio.h >
#include < stdlib.h >
#include < memory.h >

const int N = 8 ;

int step[N * N] = ... {-1} ;
int chess[N][N] = ... {0} ;

int Jump[ 8 ][ 2 ] = ... {...{-2,-1},...{-1,-2},...{1,-2},...{2,-1},...{2,1},...{1,2},...{-1,2},...{-2,1}} ;

int p = 0 ;

int canJump( int x, int y)
... {
if (x >= 0&& x < N && y>= 0&& y < N && chess[x][y]== 0)
return 1;
return 0;
}

int weightStep( int x, int y)
... {
int count = 0;
for (int i= 0; i< 8;++i)
...{
if (canJump(x+ Jump[i][0], y+ Jump[i][1]))
count++;
}
return count;
}

void inssort( int a[], int b[], int n)
... {
if (n <= 0)return;
for (int i= 0; i< n; ++i)
...{
for (int j= i; j > 0;--j)
...{
if (a[j] < a[j -1])
...{
int temp = a[j -1];
a[j- 1]= a[j];
a[j]= temp;

temp= b[j - 1];
b[j- 1]= b[j];
b[j]= temp;
}
}
}
}

void BackTrace( int t, int x, int y)
... {
if (t >= N * N)
...{
p++;

for (int i= 1; i<= N * N -1; ++i)
...{
printf("%d", step[i]);
}
printf("");
for (int i= 0; i< N; ++i)
...{
for (int j= 0; j< N; ++j)
printf("%2d", chess[i][j]);
printf("");
}
printf("");
exit(1);
//return;
}
else
...{
int count[8], possibleSteps[8];
int k = 0;
for (int i= 0; i< 8;++i)
...{
if (canJump(x+ Jump[i][0], y+ Jump[i][1]))
...{
count[k]= weightStep(x+ Jump[i][0], y+ Jump[i][1]);
possibleSteps[k++]= i;
}
}

inssort(count, possibleSteps, k);
for (int i= 0; i< k; ++i)
...{
int d = possibleSteps[i];
x+= Jump[d][0];
y+= Jump[d][1];
chess[x][y]= t + 1;
step[t]= d;
BackTrace(t+ 1, x, y);
chess[x][y]= 0;
x-= Jump[d][0];
y-= Jump[d][1];

}
}
}

int main()
... {

int x = 0;
int y = 0;
chess[x][y]= 1;
BackTrace(1, x, y);
printf("All Results Number = %d", p);
}

另外，在查阅和搜索骑士问题的资料时，看到很多朋友说可以使用贪心算法，现在做一个验证看贪心法到底对不对：在只需要一个可行结果时，用贪心算法来替代回溯算法，对KnightTravel2稍做一下修改，在每次选择下一步时都贪心的选择权值最小的那一步，这样就省去了回溯的递归，算法复杂度为O(N * N)的线性时间。代码如下：

/**/ /*
* File: KnightTravel3.cpp
* Author: eshow
* Date: 2007-09-10
* Question:
考虑国际象棋棋盘上某个位置的一只马，它是否可能只走63步，正好走过除起点外的其他63个位置各一次？如果有一种这样的走法，则称所走的这条路线为一条马的周游路线。试设计一个算法找出这样一条马的周游路线。
* Solution:
如果不要求找出所有结果，可以使用贪心算法，在(x, y)的选择时，永远只选择权值最小的那一个跳。就可以很快找到一个结果。travel()函数实现了这种思想。但为何贪心选择可以算出结果有待证明：是一定可以算出，还是可能性很大？验证N = 8的棋盘遍历所有可能的起始点，用贪心法在 x = 5, y = 3时解不出结果，而用回溯遍历所有可能则可以得出结果。因此贪心法解该问题是不正确的。
*/


#include < stdio.h >
#include < stdlib.h >
#include < memory.h >

const int N = 8 ;

int step[N * N] = ... {-1} ;
int chess[N][N] = ... {0} ;

int Jump[ 8 ][ 2 ] = ... {...{-2,-1},...{-1,-2},...{1,-2},...{2,-1},...{2,1},...{1,2},...{-1,2},...{-2,1}} ;

int canJump( int x, int y)
... {
if (x >= 0&& x < N && y>= 0&& y < N && chess[x][y]== 0)
return 1;
return 0;
}

int weightStep( int x, int y)
... {
int count = 0;
for (int i= 0; i< 8;++i)
...{
if (canJump(x+ Jump[i][0], y+ Jump[i][1]))
count++;
}
return count;
}

// a是要排序的数组，b是a中的步子的索引，用于贪心选择
int getMin( int a[], int b[], int n)
... {
if (n <= 0)-1;
int min = a[0];
int stepIndex= b[0];
for (int i= 1; i< n; ++i)
...{
if (min > a[i])
...{
min= a[i];
stepIndex= b[i];
}

}
return stepIndex;
}



bool travel( int x, int y)
... {
chess[x][y]= 1;
int x0 = x, y0 = y;
for (int s= 1; s< N * N; ++s)
...{
int count[8], possibleSteps[8];
int k = 0;
for (int i= 0; i< 8;++i)
...{
if (canJump(x+ Jump[i][0], y+ Jump[i][1]))
...{
count[k]= weightStep(x+ Jump[i][0], y+ Jump[i][1]);
possibleSteps[k++]= i;
}
}
if (k > 0)
...{
int d = getMin(count, possibleSteps, k);
x+= Jump[d][0];
y+= Jump[d][1];
chess[x][y]= s + 1;
step[s]= d;
}
else
...{
printf("Start at %d, %d can NOT travel the chess.", x0, y0);
return false;
}

}

printf("Start at %d, %d can travel the chess:", x0, y0);
for (int i= 1; i<= N * N -1; ++i)
...{
printf("%d", step[i]);
}
printf("");
for (int i= 0; i< N; ++i)
...{
for (int j= 0; j< N; ++j)
printf("%2d", chess[i][j]);
printf("");
}
printf("");
return true;
}


int main()
... {
int x = 0;
int y = 0;
chess[x][y]= 1;
travel(x, y);
}

但很遗憾，实验证明贪心法并不是正确的，因为不能证明贪心选择一定会得到问题的解。可以举出反例：当马开始在(5, 3)位置时，使用贪心算法得不到可行路径，但使用改进后的回溯算法KnightTravel2，则可以解出结果。

综上所述，骑士周游问题不能使用贪心法求解。改进后的回溯法是一个可行的方案，但时间复杂度仍然很高。在王晓东的《计算机算法设计与分析》一书上看到该问题可以用分治递归法求解，但一直没有想出答案，网上也很难找到相关方面的资料。

【参考文献】

[1] 《计算机算法设计与分析（第2版）》 王晓东 电子工业出版社http://blog.csdn.net/eshow/article/details/1779307