【数据结构】——时间复杂度与空间复杂度

数据结构

数据结构是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种一种或者多种特定关系的数据元素的集合

数据结构就是内存中对数据进行管理

算法

算法就是定义良好的计算过程，它取一个或者一组的值输入，并产生处一个或者一组作为输出，简单来说算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化为输出数据

算法效率

算法效率分为：
时间效率
空间效率

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间资源。因此衡量一个算法的好换，一般是从时间和空间俩个维度来衡量，即时间复杂度和空间复杂度。

• 时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢
• 空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间

时间复杂度

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数（数学中的函数），它定量描述了该算法的运行空间。

一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

大O的渐进表示法

• 大O符号：用于描述函数渐进行为的数学符号

推导大O阶方法：

1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数（不是代表一次，而是代表常数次）

eg:O(1)

2.在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
3.如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数，得到的结果就是大O阶

N²+2N的时间复杂度为:O(N²)

• 大O渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示执行次数

算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏的情况：
最坏情况：任意输入规模的最大运行次数（上界）
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数（下界）

• 在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以在数组中搜索数据时间复杂度为O（N）

log以2为底的对数不好写，一般写成logN.其他底数不能简写，

例1：

//Func1的时间复杂度为O(N)
void Func1(int N)
{
	int i = 0;
	int count = 0;
	for (i = 0; i < N; i++)
	{
		++count;
	}
	int m = 10;
	while (m)
	{
		--m;
	}
	printf("%d\n",count);
}
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例2：

//Func2的时间复杂度为O(N)
void Func2(int N)
{
	int count = 0;
	int i = 0;
	for (i = 0; i < N; i++)
	{
		++count;
	}
	for (i = 0; i < N; i++)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n",count);
}
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例3：

//Func3的时间复杂度为O(1)
void Func3()
{
	int count = 0;
	int i = 0;
	for (i = 0; i < 100; i++)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n",count);
}

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例5：

// strchr的时间复杂度为O(N)
const char* strchr(const char* str, int character);
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例6：

// BubbleSort的时间复杂度为O(N^2)
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}
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例7：

// BinarySearch的时间复杂度O(logN)
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);
	int begin = 0;
	int end = n - 1;
	while (begin < end)
	{
		int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
		//使用右移操作符相当于除以2
		if (a[mid] < x)
			begin = mid + 1;
		else if (a[mid] > x)
			end = mid;
		else
			return mid;
	}
	return -1;
}
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例8：

// 阶乘递归Fac的时间复杂度为O(N)
long long Fac(size_t N)
{
	if (0 == N)
		return 1;

	return Fac(N - 1) * N;
}
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例子9：

// 斐波那契递归Fib的时间复杂度为O(2^N)
long long Fib(size_t N)
{
	if (N < 3)
		return 1;

	return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}
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空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时（额外）占用存储空间的大小的量度。
空间复杂度不是程序占用了多少字节的空间，空间复杂度计算的是变量的个数，空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

• 注意：函数运行时所需要的栈空间（存储参数，局部变量，一些寄存信息等）在编译期间以及确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时显示申请的额外空间来确定。

大部分的空间复杂度为O(1)或者O(N)

例1：

// BubbleSort的空间复杂度为O(1)
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}
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例2：

// Fibonacci的空间复杂度为O(N)
long long* Fibonacci(size_t n)
{
	if (n == 0)
		return NULL;

	long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
	fibArray[0] = 0;
	fibArray[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; ++i)
	{
		fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
	}
	return fibArray;
}
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例3：

// 阶乘递归Fac的空间复杂度为O(N)
long long Fac(size_t N)
{
	if (N == 0)
		return 1;

	return Fac(N - 1) * N;
}
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常见复杂度对比