2024长三角数学建模A题抢救落水手机运动微分方程模型论文代码分析

2024长三角数学建模A题33页论文和代码已完成，代码为A题全部问题的代码，论文包括摘要、问题重述、问题分析、模型假设、符号说明、模型的建立和求解（问题1模型的建立和求解、问题2模型的建立和求解、问题3模型的建立和求解、问题4模型的建立和求解）、模型的评价等等

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摘要

本文针对抢救"落水手机的问题,建立了一系列理论模型,并对不同情况下手机或身份证在水中的运动轨迹及最终位置进行了数值模拟。通过对重力、浮力、水动力阻力、升力等作用力的综合考虑,结合流体力学和刚体动力学等学科理论,我们构建了控制方程组,并采用四阶龙格-库塔算法进行数值求解。模拟结果能够较为准确地预测掉落物品的可能范围,为制定最优搜索策略提供了重要依据。此外,我们还针对提升打捞成功率给出了一系列建议,并总结了各模型的优缺点及推广应用。

针对问题1(手机掉落西湖静水区域)的情况,我们建立了"Hydrodynamic Motion"模型。该模型将手机视为质点或刚体,根据牛顿运动定律和流体力学理论,推导出了描述手机在水中运动的控制方程组,包括重力、浮力和水动力阻力等作用力项。为求解这一二阶常微分方程组,我们采用了四阶显式龙格-库塔方法,并给出了完整的Matlab代码实现。通过设置合理的初始条件和边界条件,模型可以对手机的运动轨迹及最终位置进行较为准确的预测。我们使用多种可视化方式,如三维轨迹图、二维投影图和速度变化曲线等,直观展示了模拟结果,并对结果进行了深入分析。该模型的创新点在于将流体力学理论与数值算法相结合,能够有效描述手机在静水环境下的运动规律。
（后略，见完整版本）

问题重述

问题分析

1. 问题1和问题2的分析。这两个问题考虑了手机掉入西湖静水区域和京杭运河流水区域两种不同情况。对于静水情况,需要重点研究手机自身的特征(如材质、密度、形状等)对掉落范围的影响,并结合水域环境(如水深、水底地形等)制定合理的搜索策略。而对于流水情况,除了手机特征和水域环境外,还需要考虑流速、流向等因素对手机漂移轨迹的影响,进而确定可能的掉落范围。这两个问题都需要建立理论模型并开展数值模拟,对手机的运动轨迹及最终位置进行预测和分析。

2. 问题3的分析。这个问题将掉落物品从手机改为身份证,引入了新的变量。与手机相比,身份证的材质、密度、形状等特征都有较大差异,这会导致它在水中的运动轨迹和最终位置发生变化。因此,需要重新建立理论模型,考虑身份证自身特征对掉落范围的影响,并与手机情况进行对比分析。同时,由于身份证的重要性,搜索策略可能也需要做出相应调整。

3. 问题4的分析。这个问题要求综合前三个问题的研究成果,为打捞人员提供切实可行的建议,以提高打捞成功率。建议可以从多个方面入手,如完善现有搜索策略、优化搜索工具和方法、加强打捞人员培训等。同时,还可以探讨一些创新性的解决方案,如利用先进技术(无人机、水下机器人等)辅助搜索,或者在景区内设置防范措施(如安全提示、应急设备等),从源头上降低物品掉入水中的风险。

模型假设

1. 将掉落物品(手机或身份证)视为质点或刚体,忽略其形状和尺寸对运动轨迹的影响。这是为了简化模型,减少计算复杂度,在很多情况下是一个合理的近似假设。

2. 假设水域为理想流体,忽略了水的粘性和紊流效应对物品运动的影响。这是流体力学中常用的假设,可以大大简化控制方程的形式,但在某些情况下可能会导致一定偏差。

3. （略，见完整版本）

符号说明

问题1-问题3的模型建立与求解过程中使用的符号及其说明如下。

这些符号分别表示了物品自身特征、水域环境参数、运动状态量、作用力以及其他相关变量。在模型建立和求解过程中,我们使用这些符号构建了控制方程,并通过数值求解获得了物品的运动轨迹和最终位置。表格中列出了每个符号的具体说明,方便查阅和理解。

模型的建立与求解

问题一模型的建立与求解

问题1考虑了船只运动的影响,即手机在掉落时不仅有垂直下落速度,还需要考虑水平方向的初始速度。下面我们将重新对问题1进行分析和建模。

问题一模型思路分析

当手机从运动中的游船上掉落到西湖静水区域时,其运动轨迹将受到以下因素的综合影响:

1. 手机自身特征,包括材质、形状、尺寸、密度等,决定了手机的浮沉性能和水动力学表现。

2. 水域环境,包括水深、水底地形、水温等,影响手机在水中的运动轨迹。

3. 手机的初始条件,包括掉落点的位置、掉落时刻的垂直速度(重力加速度)和水平速度(船速)等,决定了手机的初始运动状态。

4. 其他外部因素,如风力、水流扰动等,可能会对手机运动产生一定影响。

因此,我们需要建立更加完备的理论模型,综合考虑上述各种因素,对手机在水中的三维运动轨迹及最终位置进行准确预测。

"Hydrodynamic 3D Motion"模型建立

为了描述手机在运动船只上掉落到静水区域的情况,我们建立了"Hydrodynamic 3D Motion"模型。该模型的核心思想是将手机视为一个刚体,在三维空间中运动遵循牛顿运动定律和流体力学定律。

假设手机的质量为 $m$,在空间直角坐标系 $(x,y,z)$ 中的位置矢量为 $\vec{r}=(x,y,z)$,速度矢量为 $\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)$,则手机在水中三维运动满足以下控制方程:

m d v ⃗ d t = F ⃗ g + F ⃗ b + F ⃗ d

$$\begin{equation} m\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{F}_g+\vec{F}_b+\vec{F}_d \end{equation}$$ mdtdv ​=F g​+F b​+F d​​​
其中,右边各项分别表示:

• ${\vec{F}}_g$是重力;
• ${\vec{F}}_b$是浮力;
• ${\vec{F}}_d$是水动力阻力。

1. 重力 ${\vec{F}}_g$

根据牛顿万有引力定律,重力可以表示为:

F ⃗ g = m g ⃗

$$\begin{equation} \vec{F}_g=m\vec{g} \end{equation}$$ F g​=mg ​​​
其中, $\vec{g}$ 是重力加速度。

2. 浮力 ${\vec{F}}_b$

根据阿基米德浮力原理,浮力等于排开液体所受的重力,可以表示为:

F ⃗ b = − ρ w V b g ⃗

$$\begin{equation} \vec{F}_b=-\rho_wV_b\vec{g} \end{equation}$$ F b​=−ρw​Vb​g ​​​
其中, ${\rho }_w$ 是水的密度, $V_b$ 是手机排开水的体积。

3. 水动力阻力 ${\vec{F}}_d$

水动力阻力是手机在水中运动时受到的主要阻力,可以根据流体力学理论计算。一种常用的计算方法是基于手机的投影面积和运动速度,采用经验阻力系数进行估算:

F ⃗ d = − 1 2 C D ρ w A p v 2 v ^

$$\begin{equation} \vec{F}_d=-\frac{1}{2}C_D\rho_wA_pv^2\hat{v} \end{equation}$$ F d​=−21​CD​ρw​Ap​v2v^​​
其中, $C_D$ 是无因次的阻力系数, $A_p$ 是手机在运动方向上的投影面积, $v$ 是手机相对于水的速度, $\hat{v}$ 是速度单位矢量。

（后略，见完整版本）

问题一模型求解算法步骤

与之前的"Hydrodynamic Motion"模型类似,我们采用四阶显式龙格-库塔方法对"Hydrodynamic 3D Motion"模型进行数值求解。算法步骤如下:

1. 给定手机的初始位置 ${\vec{r}}_0$、初始垂直速度 $v_{z0}$(重力加速度)和初始水平速度 ${\vec{v}}_{h0}$(船速),以及手机自身特征参数和水域环境参数。
2. 在每个时间步 $t_n$ ,计算手机受到的合力 $\vec{F}(t_n,{\vec{r}}_n,{\vec{v}}_n)$,包括重力、浮力和水动力阻力。
3. 根据四阶龙格-库塔方法,计算下一时间步 $t_{n+1}=t_n+\Delta t$ 时手机的位置 ${\vec{r}}_{n+1}$ 和速度 ${\vec{v}}_{n+1}$:
4. （后略，见完整版本）

模型参数和数据处理

为了对"Hydrodynamic 3D Motion"模型进行数值求解,我们需要获取手机的各项参数,包括质量、尺寸、密度等,以及西湖水域和船只运动的相关数据,如水深、水温、船速等。这些参数可以通过实验测量、查阅文献资料等方式获得。

对于手机的阻力系数 $C_D$,我们可以参考相关文献中对类似物体的经验值,或者通过实验拟合的方法进行估算。由于手机形状复杂,阻力系数会随着运动姿态的变化而变化,因此我们可以考虑引入多个阻力系数,分别描述不同运动状态下的阻力。

在数值求解过程中,我们还需要对计算数据进行适当处理,包括:

1. 单位转换,将不同单位的物理量统一为计算所需的单位。

2. 数据插值,对于缺失的数据点,可以采用合适的插值方法进行估算。

3. 去噪处理,对于存在噪声的数据,需要进行滤波或其他去噪处理。

4. 数据可视化,将计算结果用图形的方式直观地呈现出来,方便分析和判断。

通过上述分析和建模,我们可以较为全面地描述手机从运动船只上掉落到西湖静水区域的三维运动情况,为确定手机的可能掉落范围和制定最优搜索策略提供理论依据和数值支持。相比之前的二维模型,三维模型考虑了更多实际因素,预测结果将更加准确和可靠。

问题一模型的求解与可视化分析

1. 在设置初始条件时,除了给定手机的初始位置r0外,还需要设置初始垂直速度vz0(根据掉落高度计算的自由落体速度)和初始水平速度vx0(等于船速)。
2. 调用ode45函数求解"Hydrodynamic 3D Motion"模型的控制方程组,得到手机的三维位置r和速度v。
3. 可视化部分包括绘制手机的三维运动轨迹、二维投影轨迹和速度变化曲线,并以300dpi分辨率保存为PNG格式图像。
4. 输出手机的最终位置。
5. 定义了eqnMotion3D函数,用于计算三维控制方程组的右端项,包括重力、浮力和水动力阻力。

求解结果分析:

1. 三维轨迹图显示,与之前的二维情况相比,手机在掉落过程中呈现出更加复杂的三维运动轨迹,受到水平方向速度的影响,在垂直下落的同时也产生了水平位移。手机从船上掉落后先向下运动,之后在水中上浮一段距离,最终在一定深度处达到平衡位置,这与实际情况是一致的。同时,手机在水平面上也产生了一定位移,这是由于初始水平速度(船速)的影响。

1. 二维投影图进一步揭示了手机在水平面(xz平面)和垂直平面(yz平面)的运动规律,可以观察到手机在水平方向上的漂移情况。

1. 速度变化曲线显示,手机的速度在初始阶段较大,随着时间推移逐渐减小至0,这与能量守恒定律相符合。

1. 根据输出的最终位置,我们可以估计手机可能的掉落范围,该范围较之前的二维情况有所扩大,体现了水平速度的影响。

   （后续分析略，见完整版本）

问题二模型的建立与求解

问题2考虑了手机掉落在京杭大运河流水区域的情况,这比问题1更加复杂。不仅需要考虑船只运动对手机运动轨迹的影响,还需要将河流本身的流速纳入模型。另外,由于船只运动方向与河流方向可能存在一定夹角,因此手机的初始运动状态更加复杂。下面我们对问题2进行详细分析和建模。

问题二模型思路分析

当手机从运动中的游船上掉落到京杭大运河流水区域时,其运动轨迹将受到以下几个主要因素的影响:

1. 手机自身特征,包括材质、形状、尺寸、密度等,决定了手机在水中的浮沉性能和水动力学表现。

2. 水域环境,包括水深、水底地形、水温、流速和流向等,这些因素会直接影响手机在水中的运动轨迹。

3. 手机的初始条件,包括掉落点的位置、掉落时刻的垂直速度(重力加速度)和合成水平速度(船速与河流速度的矢量合成)等,决定了手机的初始运动状态。

4. 船只与河流的相对运动状态,包括船速大小、运动方向及与河流方向的夹角等,这些因素会影响手机的初始合成水平速度。

5. 其他外部因素,如风力、水流扰动等,可能会对手机的运动产生一定影响。

因此,我们需要建立更加复杂的理论模型,综合考虑上述各种因素,对手机在流水区域的三维运动轨迹及最终位置进行准确预测。

"Hydrodynamic 3D Motion with Flow"模型建立

为了描述手机在流水区域的运动情况,我们建立了"Hydrodynamic 3D Motion with Flow"模型。该模型在前面的"Hydrodynamic 3D Motion"模型基础上,增加了考虑河流流速的部分。

（后略，见完整版本）

问题二模型的求解

1. 与问题1相比,增加了河流流速u_river、河流方向theta_river、船速v_boat和船舶方向theta_boat等参数作为输入。
2. 计算河流在三个方向上的分速度u_x、u_y、u_z,以及船速在x、y方向上的分速度vx_boat、vy_boat。
3. 根据船速和河流速度的矢量合成,计算手机的初始水平速度vx0、vy0。
4. 引入附加质量系数m_a,对于简单情况可以近似估计为0.5*rho_w*V_b。
5. 调用ode45函数求解"Hydrodynamic 3D Motion with Flow"模型的控制方程组,得到手机的三维位置r和速度v。
6. 可视化部分包括绘制手机的三维运动轨迹、二维投影轨迹和速度变化曲线,并以300dpi分辨率保存为PNG格式图像。
7. 输出手机的最终位置。
8. 定义了eqnMotionFlow函数,用于计算考虑河流流速的三维控制方程组的右端项,包括重力、浮力、水动力阻力和附加质量力。

求解结果分析:

1. 三维轨迹图显示,与问题1的情况相比,手机在掉落过程中呈现出更加曲折的三维运动轨迹,不仅受到垂直下落和水平位移的影响,还受到河流流速的作用,在水平面上产生了明显的偏移。
2. （后略，见完整版本）

问题三模型的建立与求解

问题3考虑了身份证掉落在水中的情况,与手机相比,身份证的材质、形状和尺寸都有很大差异,因此需要重新建立理论模型。下面我们对问题3进行详细分析和建模。

问题三模型思路分析

当身份证掉落到水域(无论是静水还是流水)时,其运动轨迹主要受到以下因素的影响:

1. 身份证自身特征,包括材质、形状、尺寸、密度等,决定了身份证在水中的浮沉性能和水动力学表现。

2. 水域环境,包括水深、水底地形、水温、流速和流向(如果是流水)等,这些因素会直接影响身份证在水中的运动轨迹。

3. 身份证的初始条件,包括掉落点的位置、掉落时刻的垂直速度(重力加速度)和水平速度(如果是从运动中的船只上掉落)等,决定了身份证的初始运动状态。

4. 其他外部因素,如风力、水流扰动等,可能会对身份证的运动产生一定影响。

由于身份证的特征与手机存在明显差异,因此我们需要重新建立理论模型,并根据身份证的具体情况对模型参数进行调整,以准确预测身份证在水中的运动轨迹及最终位置。

"Hydrodynamic Motion for ID Card"模型建立

为了描述身份证在水中的运动情况,我们建立了"Hydrodynamic Motion for ID Card"模型。该模型的基本思路与之前的"Hydrodynamic Motion"模型类似,但需要针对身份证的特殊性进行适当修改。

（后略，见完整版本）

求解结果分析:

1. 二维投影图进一步说明了身份证在水平面(xz平面)和垂直平面(yz平面)的运动规律,可以观察到身份证在垂直方向上的运动更加复杂,不仅下落和上浮,还存在一定的摆动运动。

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