椭圆曲线上两种基本的运算：点集运算、P+Q详解_椭圆曲线点加运算

椭圆曲线简介

RSA密码体制在我们现在还是非常常用的，但是当今，计算机运算速度之快给该加密方式带来了一定的威胁，为了保证安全性，它的密钥长度需要一再地增大，使其运算负担也随之增大。相比下，椭圆密码体制ECC（elliptic curve cryptography）可以用短得多的密钥获得同样的安全性，因而具有广泛的前景，如果没记错的话，区块链技术就有用到椭圆曲线密码体制，感兴趣的小伙伴可以了解了解。

在密码中，比较普遍的是采用有限域的椭圆曲线，有限域的椭圆曲线指的是曲线方程y²+axy+by=x³+cx²+dx+e（一般形式）中，所有系数都是某一有限域GF（p）中的元素（其中p为一个大素数）。（GF（p）是定义在整数集合{0, 1, 2, …, p-1}上的域，GF（p）上的加法和乘法分别是模加法和模乘法）。其中最常用的曲线方程是y²≡x³+ax+b(mod p)（其中a，b属于GF（p），4a³+27b²≠0）。

基本运算一：求椭圆曲线上的点集

查阅了很多网上的资料，椭圆曲线上的点集计算大多数的人都是通过代码或者伪代码（大多都是用暴力穷举）来表示给我们看。但是对于需要考试，用笔计算的我来说可能不太适用，所以在此，想和大家分享下动笔计算的方法。

步骤

以我们假定的椭圆曲线为例，即：椭圆曲线方程为：y²≡x³+x+1，p=23。所以满足a，b属于GF（p），4a³+27b²≠0。下面就开始计算点集E23(1,1)，我们可以进行计算第一象限的点集，即{(x, y)|0<=x<p, 0<=y<p, x, y均为整数}：
1.对于每一x计算x³+ax+b(mod p)，记录其值，假定为x’。
2. 对于每一个y计算y²(mod p)，记录其值，假定为y’。
3. 如果x’==y’，就记录（x, y）这一点就是椭圆曲线点集中的一点。
4. 在这个例子中，x可以有23种可能，y也可能有23种可能，所以我们要计算23²个点。
5. 最终满足条件的点所构成的集合就是该曲线方程的点集。
我们可以从步骤种看出我们所需要计算量之大，因此用程序跑，可能会省时省力。

基本运算二：P+Q

在这个计算中，P点和Q点的相加不是我们初高中所列的式子（x1+x2, y1+y2）这么简单，椭圆密码体制下的P+Q有其一套运算。

步骤

假定P点为(x1, y1)，Q点为(x2, y2)，P+Q为(x3, y3)，因此P+Q由以下规则确定：

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