2023年五一杯A题无人机定点投放问题完整论文+代码分析_无人机定点投放数学建模论文

一、问题背景与重述

1.1问题背景

随着科学与通信技术的发展，无人机载重能力得到了提升，技术也愈发成熟，其在各个领域的应用日益广泛。最近几年来，自然灾害频发以及各种重大突发卫生事件的发生，无人机凭借着飞行灵活，隐蔽性强和成本低等特点[1]，在投放爆炸物和投放物资等方面发挥着重要作用。无人机在进行定点投放时的精度受到多种因素的影响，不仅受到操作技术这一主观因素的影响，还受到任务状态和环境这些客观因素的影响。通过研究这些因素对无人机投放物品的影响，可以制定相应的的发射策略，有效提高无人机投放的命中度，达到飞行姿态的最优化。

无人机对未来空战具有重要意义，世界各主要军事国家都在抓紧对无人机的研究。国内不少专家也在对关于无人机定点投放的问题进行研究与试验。徐清云等利用无人机进行稻螟赤眼蜂的投放，从而大面积的防治水稻二化螟，进而提高水稻的产量[2]；李永健则是对无人机的自主定点栖息进行研究,该技术是研究无人机自主飞行的基础技术。借助自主定点栖息技术,无人机才能自主返航,降落，从而达到降低能量消耗的效果[3]。本文总结前人的经验，分析飞行高度，速度和阻力等因素对投放距离的影响，根据所得结果，制定提高无人机投放精度的飞行策略，这对提高物资运输效率和提高投射爆炸物命中率具有重要意义。

1.2问题重述

本文通过建立数学模型，解决以下问题：

1.对无人机水平飞行进行假设，于空中投放半径为20cm,质量为50kg的球形物资到达地面目标位置；

(1)要求建立相关的数学模型，对无人机投放距离与飞行高度，速度以及空气阻力进行研究，得出它们间的关系；

(2)设定无人机飞行的高度是300m，飞行速度是300km/h,风速是5m/s。建立相关的数学模型，分别计算出无人机在飞行方向和风向相同，相反以及垂直这三种情况下的投放距离；

2.问题二需要无人机发射一个半径是8cm,重5kg的球形爆炸物爆破冰川。无人机从起始点到目标点的水平距离是10000m，必须俯冲发射爆炸物，并且方向和飞行方向必须一致；

(1)要求建立相关的数学模型，对无人机投放距离与飞行高度，速度，俯冲角度以及发射的速度这些因素进行研究，得出它们间的关系；

(2)给出风速、无人机靠近目标时的飞行高度、飞行的速度、发射爆炸物的速度的具体数值，并将无人机与目标间的距离限制在1000到3000m间，飞行高度不低于300m，根据要求制定无人机射中目标的发射策略；

3.无人机飞行的稳定性是影响无人机命中目标精度的重要因素。俯冲后，操控员要对无人机飞行姿态进行不断调整来矫正风向和风速对无人机的影响；

(1)要求设定飞行速度和发射速度一定，对各种因素进行综合考虑，建立相关模型，对无人机飞行的稳定性进行量化，得出稳定性和命中精度的关系，并且使用数值仿真等方法分析验证无人机的稳定性；

(2)给出风速、飞行速度的范围、发射速度的具体数值。无人机从800m处俯冲，以飞行高度要高于300m,要求制定出调整策略使无人机尽量保持稳定。

二、问题分析

2.1对于问题一的分析

问题一假设无人机以平行于水平面的方式飞行并投放物资，可以将物资的运动类比成平抛运动，由于物资的重量较大，因此不能简单的看成质点，还要考虑物资的重量。

2.1.1

本题要求给出无人机投放距离与其飞行高度、飞行速度、空气阻力的影响。物资刚投放时的速度即为无人机的飞行速度，根据空气动力学，本问将物资在不同速度下的空气阻力进行区分，根据牛顿第二定律，列出竖直方向与水平方向物资所受合力的微分方程，通过Matlab软件求解出物资在水平和竖直方向上的位移，最后通过两点之间距离公式得出投放点与指定位置的直线距离。

2.1.2

本题给出了飞行高度和飞行速度的数据，题目中还加了风向与水平面平行的风速的条件，根据相对速度的知识，当无人机飞行方向与风向相同时，物资运行速度为两者相加；相反时，速度为两者相减；两者垂直时，相当于物体竖直方向多了一个初速度。通过上述的模型，将具体数值带入，用Matlab进行求解得出结果。

2.2对于问题二的分析

问题二假设无人机以一个倾角俯冲并以该倾角抛出爆炸物，可以将爆炸物的运动类比为类平抛运动。在问题一的基础上加入角度，使爆炸物一开始的时候在平行和竖直方向具有一定的初速度，由于无人机的飞行速度与爆炸物的发射速度不一样，可以分两个时间和进行考虑。

2.2.1

本题由于飞机的飞行速度是常数，因此只考虑发射速度，本问还考虑了空气阻力的影响，分别列出水平和竖直方向上的合力微分方程，来写出直线距离表达式。

2.2.2

由于多了一段无人机发射爆炸物前的运动，因此本题的模型加入了无人机在水平和竖直方向的运动位移。题目中所给的风速并没有说明其方向，于是本题分别讨论了风向不同情况下水平和竖直方向上爆炸物的初速度，从而列出不同的位移微分方程，来求出时间和俯冲角，最后通过软件求出不同情况下的发射策略。

2.3对于问题三的分析

问题三要求刻画出无人机稳定性与命中精度的关系。通过查阅资料，无人机的稳定性与自身因素和外部因素有关。

2.3.1

本题通过查找俯仰角、滚转角、偏航角与飞机稳定性的关系表达式，以及不同种类无人机的重量，通过流体力学的知识，找出相同重量下不同海拔的雷诺数来分析出其对飞机稳定性的影响，再通过写出发射点到目标位置的表达式来刻画出命中精度与飞行高度、飞行速度、俯冲角等的关系，通过控制变量法，改变其中某一个参数的数值，来比较这些因素的重要程度，再赋值权重，从而写出影响稳定性的表达式。

2.3.2

通过给出的风速以及飞行速度的约束范围，以及俯冲角度来求出无人机最优的飞行姿态。本问通过软件求解出最优俯仰角、滚转角、偏航角来确定保持无人机稳定而采取的最优飞行姿态。

三、模型假设

结合本题的实际，为确保模型求解的准确性和合理性，本文排除一些因素的干扰，提出以下几点假设：

1.假设海拔为0m时，温度为；

2.假设物体重量远远小于无人机重量；

3.假设无人机续航能力强，无电源中断情况；

4.假设天气良好，无人机不受狂风暴雨影响。

四、符号说明

五、模型的建立与求解

经过以上的分析和准备，本文将逐步建立以下数学模型，进一步阐述模型的实际建立过程。

5.1问题一模型的建立与求解

根据问题一假设，本问主要根据平抛运动相关知识来解决问题。

5.1.1问题一（1）模型的建立与求解

Step1：首先作出无人机飞行以及投放物资的示意图：

图5-1  问题一无人机运行以及投放物资示意图

本题要求给出无人机投放距离与飞行高度、飞行速度、空气阻力等之间的关系。

Step2：

根据空气动力学的知识，当物体速度较小时，空气阻力与速度成线性关系：

y=dsolve('50*9.8-1/2*0.5*1.29*pi*0.04(Dy^2)=50*D2y','t')
x=dsolve('1/2*0.5*1.29*pi*0.04(Dx^2)=-50*D2x','t')
%高速情况下的垂直与水平距离
y=dsolve('50*9.8-1/2*0.5*1.29*pi*0.04*Dy=50*D2y','t')
x=dsolve('1/2*0.5*1.29*pi*0.04*Dx=-50*D2x','t')
%低速情况下的垂直与水平距离
y=dsolve('50*9.8-1/2*0.5*1.29*pi*0.04(Dy^2)=50*D2y','t')
x=dsolve('1/2*0.5*1.29*pi*0.04(Dx^2)=-50*D2x','t')
L1=sqrt(x^2+y^2)
%无人机接近地面时的位移
y=dsolve('50*9.8-1/2*0.5*1.29*pi*0.04*Dy=50*D2y','t')
x=dsolve('1/2*0.5*1.29*pi*0.04*Dx=-50*D2x','t')
L2=sqrt(x^2+y^2)
%无人机在高空中的位移
 
v=300/3.6
v0=v+5
m=50
g=9.8
y=300
f=-1/2*0.5*1.29*pi*0.04*v0^2
a1=f/m
a2=(m*g-f)/m
t=sqrt(2*y/a2)
x=v0*t+1/2*a1*t^2
L=sqrt(x^2+y^2)
%无人机飞行方向与风向相同
v=300/3.6
v0=v-5
m=50
g=9.8
y=300
f=-1/2*0.5*1.29*pi*0.04*v0^2
a1=f/m
a2=(m*g-f)/m
t=sqrt(2*y/a2)
x=v0*t+1/2*a1*t^2
L=sqrt(x^2+y^2)
%无人机飞行方向与风向相反
v0=300/3.6
v=5
m=50
g=9.8
y=300
f=-1/2*0.5*1.29*pi*0.04*v0^2
a1=f/m
a2=(m*g-f)/m
t=sqrt(2*y-2*v*t)/sqrt(a2)
x=v0*t+1/2*a1*t^2
L=sqrt(x^2+y^2)
%风向垂直于飞机向上
v0=300/3.6
v=-5
m=50
g=9.8
y=300
f=-1/2*0.5*1.29*pi*0.04*v0^2
a1=f/m
a2=(m*g-f)/m
t=sqrt(2*y-2*v*t)/sqrt(a2)
x=v0*t+1/2*a1*t^2
L=sqrt(x^2+y^2)
%风向垂直于飞机向下
 
 
m=dsolve('5*9.8-1/2*0.5*1.29*pi*0.0064*m^2=5*Dm','t')
v=dsolve('1/2*0.5*1.29*pi*0.0064*v^2=-5*Dx','t')
%m=u*sinα，v=u*cosα
 
u1=(300+600)/3.6
m=dsolve('5*9.8-1/2*0.5*1.29*pi*0.0064*m^2=5*Dm','t2')
v=dsolve('1/2*0.5*1.29*pi*0.0064*v^2=-5*Dv','t2')
syms q t1 t2%设自变量q,t1,t2
m=u1*sin(q)
v=u1*cos(q)
u2=300/3.6
i=u2*sin(q)*t1
k=u2*cos(q)*t1
h=m+1/2*diff(m)*t2^2+i
h=800
d=v-1/2*diff(v)*t2^2+k
1000<=k<=3000
k>=300
L=sqrt(h^2+d^2
 
u=(300+600)/3.6
m=dsolve('5*9.8-1/2*0.5*1.29*pi*0.0064*m^2=5*Dm','t2')
n=dsolve('1/2*0.5*1.29*pi*0.0064*n^2=-5*Dv','t2')
syms alpha t1 t2
m=u*sin(alpha)
n=u*cos(alpha)+6
v=300/3.6
h1=v*sin(alpha)*t1
d1=v*cos(alpha)*t1
h=m*t2+1/2*diff(m)*t2^2+h1
h=800
d=n*t2-1/2*diff(n)*t2^2+d1
1000<=d1<=3000
h1>=300
L=sqrt(h^2+d^2)
..........

六、论文获取

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