堆的概念与算法_算法 堆

堆的概念与算法

我们先来了解堆的概念，然后介绍堆的一些主要算法。

基本概念

堆首先是一棵二叉树，但它是完全二叉树 。

什么是完全二叉树呢？

我们先来看另一个相似的概念：满二叉树。满二叉树是指除了最后一层外，每个节点都有两个孩子，而最后一层都是叶子节点，都没有孩子。

满二叉树一定是完全二叉树，但完全二叉树不要求最后一层是满的，但如果不满，则要求所有节点必须集中在最左边，从左到右是连续的，中间不能有空的。比如，图11-2所示几棵二叉树都是完全二叉树。

如果编号为i，则父节点编号即为i/2，左孩子编号即为2×i，右孩子编号即为2×i+1。比如，对于5号节点，父节点为5/2即2，左孩子为2×5即10，右孩子为2×5+1即11。

这个特点为什么重要呢？

它使得逻辑概念上的二叉树可以方便地存储到数组中，

 数组中的元素索引就对应节点的编号，树中的父子关系通过其索引关系隐含维持，不需要单独保持。

这种存储二叉树的方法与之前介绍的TreeMap是不一样的。在TreeMap中，有一个单独的内部类Entry，Entry有三个引用，分别指向父节点、左孩子、右孩子。使用数组存储的优点是节省空间，而且访问效率高。堆逻辑概念上是一棵完全二叉树，而物理存储上使用数组，还有一定的顺序要求。

之前介绍过排序二叉树。排序二叉树是完全有序的，每个节点都有确定的前驱和后继，而且不能有重复元素。与排序二叉树不同，在堆中，可以有重复元素，元素间不是完全有序的，但对于父子节点之间，有一定的顺序要求。根据顺序分为两种堆：一种是最大堆，另一种是最小堆 。

最大堆是指每个节点都不大于其父节点。这样，对每个父节点，一定不小于其所有孩子节点，而根节点就是所有节点中最大的，对每个子树，子树的根也是子树所有节点中最大的。最小堆与最大堆正好相反，每个节点都不小于其父节点。这样，对每个父节点，一定不大于其所有孩子节点，而根节点就是所有节点中最小的，对每个子树，子树的根也是子树所有节点中最小的。

总结来说，逻辑概念上，堆是完全二叉树，父子节点间有特定顺序，分为最大堆和最小堆，最大堆根是最大的，最小堆根是最小的，堆使用数组进行物理存储。

为什么堆可以高效地解决之前我们说的问题呢？

在回答之前，我们需要先看下，如何在堆上进行数据的基本操作，在操作过程中如何保持堆的属性不变。

堆的算法

下面，我们介绍如何在堆上进行数据的基本操作。最大堆和最小堆的算法是类似的，我们以最小堆来说明。先来看如何添加元素。

1.添加元素

如果堆为空，则直接添加一个根就行了。我们假定已经有一个堆，要在其中添加元素，基本步骤为：

1）添加元素到最后位置。

2）与父节点比较，如果大于等于父节点，则满足堆的性质，结束，否则与父节点进行交换，然后再与父节点比较和交换，直到父节点为空或者大于等于父节点。

堆的算法示例：添加元素前的初始结构
添加元素3，第一步后，

堆的算法示例：添加元素3第一步后的结构3小于父节点8，不满足最小堆的性质，所以与父节点交换，

交换后，3还是小于父节点6，所以继续交换，

交换后，3还是小于父节点，也是根节点4，继续交换，

至此，调整结束，树保持了堆的性质。

从以上过程可以看出，添加一个元素，需要比较和交换的次数最多为树的高度，即log2（N），N为节点数。这种自底向上比较、交换，使得树重新满足堆的性质的过程，我们称为向上调整（siftup）。

2.从头部删除元素

在队列中，一般是从头部删除元素，Java中用堆实现优先级队列。下面介绍如何在堆中删除头部，其基本步骤为：

1）用最后一个元素替换头部元素，并删掉最后一个元素；

2）将新的头部与两个孩子节点中较小的比较，如果不大于该孩子节点，则满足堆的性质，结束，否则与较小的孩子节点进行交换，交换后，再与较小的孩子节点比较和交换，一直到没有孩子节点，或者不大于两个孩子节点。这个过程称为向下调整（siftdown）。

想要了解更多Java基础知识，点击下方链接和小编一起学习java吧，此视频教程为初学者而著，零基础入门篇！

https://www.bilibili.com/video/BV17g411h7Z6/?p=2&spm_id_from=pageDriver&vd_source=a7816e3b2a3a67ac39dc87f6bf92421chttps://www.bilibili.com/video/BV17g411h7Z6/?p=2&spm_id_from=pageDriver&vd_source=a7816e3b2a3a67ac39dc87f6bf92421c