机器学习（九）：k-均值（k-means）_k均值

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引言

    k均值（k-means）是一种聚类算法，其工作流程如下：随机选择k个点作为初始质心（质心即簇中所有点的中心），然后将数据集中的每个点分配到一个簇中，具体来讲，为每个点找距其最近的质心，并将其分配给该质心所对应的簇。这一步完成之后，每个簇的质心更新为该簇所有点的平均值。重复以上步骤，直到质心不发生变化。
    k均值的操作解释参见图1。

图1

    然而随机地选取初始质心，簇的质量常常很差，为克服该问题，有人提出了二分k均值（bisecting k-means）算法，该算法不太受初始化问题的影响。
    本文讨论欧氏空间中的聚类问题，所用距离为欧氏距离（在kNN中已介绍过欧氏距离，这里不再重述）。

一、基本k均值算法

    k均值是发现给定数据集的k个簇的算法。簇个数k是用户给定的，每一个簇通过其质心（centroid），即簇中所有点的中心来描述。
    k均值的基本算法如下：首先，随机选择k个初始质心，其中k即所期望的簇的个数。每个点指派到最近的质心，而指派到一个质心的点集为一个簇。然后，根据指派到簇的点，更新每个簇的质心。重复指派和更新步骤，直到簇不发生变化，或等价地，直到质心不发生变化。
算法1 基本k均值算法

选择k个点作为初始质心
repeat
    将每个点指派到最近的质心，形成k个簇
    重新计算每个簇的质心
until 质心不发生变化
1
2
3
4
5

二、目标函数

    前面说到，k个初始质心是随机选择的，不同的选择可能产生不同的结果，如图2所示，经过两次迭代，不同的初始质心得出(a)(b)两种不同结果。

图2

    如何才能知道生成的簇哪个比较好呢？我们使用误差的平方和（Sum of the Squared Error,SSE）作为度量聚类质量的目标函数。我们计算每个数据点的误差，即它到最近质心的欧氏距离，然后计算误差的平方和。SSE形式地定义如下：$$SSE=\sum _{i=1}^k\sum _{x\in C_i}dist(c_i,x{)}^2$$其中，dist是欧氏空间中两个对象之间的标准欧氏距离。若数据集为 D = { x 1 , x 2 , ⋯   , x i , ⋯   , x N } D=\{x_1,x_2,\cdots,x_i,\cdots,x_N\} D={ x1​,x2​,⋯,xi​,⋯,xN​}其中$x_i$