Leetcode刷题-312 :戳气球_有 n 个气球,编号为0 到 n - 1,每个气球上都标有一个数字,这些数字存在数组 nums

1.题目介绍：

有 n 个气球，编号为0 到 n - 1，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 nums 中。 现在要求你戳破所有的气球。戳破第 i个气球，你可以获得 nums[i - 1] * nums[i] * nums[i + 1] 枚硬币。 这里的 i - 1 和 i + 1代表和 i 相邻的两个气球的序号。如果 i - 1或 i + 1 超出了数组的边界，那么就当它是一个数字为 1 的气球。
求所能获得硬币的最大数量。

示例1

输入：nums = [3,1,5,8]
输出：167
解释： nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8]–> [8] --> []
也就是coins = 3* 1* 5 + 3* 5* 8 + 1* 3* 8 + 1* 8* 1 = 167

示例2

输入：nums = [1,5]
输出：coins=10

题目来源：力扣（LeetCode）

2.题目分析：

2.1 穷举不可行

• 首先看到这个题目最先想到的肯定是利用穷举的方法来进行解题，但是略加思索就会发现穷举的话复杂度极高，是n的全排列，而且在穷举过程中各种先后顺序的处理十分复杂易出错，所以放弃这种解法。
• 那么我们可以试图再次分析这个题目要求，一般来说这种复杂的问题可以使用递归思想来解决，我们也尝试采用递归思想来切入。先尝试采用第n次的戳破进行递归切入，单凭一维数字n的话，第n-1次戳破的状态不好确定，发现不可行。继续思考，如果我们戳破一个气球，那么就会计算刚刚戳破的这个气球与其前后两个气球的数字乘积。

2.2 区间层次的动态规划

• 基于递归思想，我们可以假设有两个元素[i,j]，在这两个元素间内最后一次戳破的是元素k(i<k<j)的话（说明戳破k之后i和j变成相邻状态）,那么这次戳破之后就会之前计算的最大值coins基础上继续加上nums[i]* nums[k] * nums[j]。以此延申，假如[i,j]之间有不止一个元素，也就是除k以外还有元素，那么如何求这个区间[i,j]的最大乘积呢？
• 继续假设有一个k，这个k是[i,j]最后一个戳破的气球，那么在戳破k之前已经进行了数个步骤确定了这些步骤的最大值，也就是说在戳破k后的最大乘积coins = dp[i][j] = max(dp[i][j],(dp[i][k] + dp[k][j] + nums[i] * nums[k] * nums[j]));其中的dp[i][j]就表示在区间[i,j]上进行最优化戳破之后得到的最大乘积coins。对公式进行解释就是戳破k右边的所有气球得到的dp[i][k]和戳破k左边的所有气球得到的最大值dp[k][j].
• 因此我们可以得到以下转移方程：

dp[i][j