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有 n 个气球,编号为0 到 n-1,每个气球上都标有一个数字,这些数字存在数组 nums 中。
现在要求你戳破所有的气球。每当你戳破一个气球 i 时,你可以获得 nums[left] * nums[i] * nums[right] 个硬币。 这里的 left 和 right 代表和 i 相邻的两个气球的序号。注意当你戳破了气球 i 后,气球 left 和气球 right 就变成了相邻的气球。
求所能获得硬币的最大数量。
示例1
- 输入:
- [3,1,5,8]
- 输出:
- 167
- 解释:
- nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> []
- coins = 3*1*5 + 3*5*8 + 1*3*8 + 1*8*1 = 167
提示
对于区间 [l, r] ,我们考虑最后一个被戳破的气球 k ,那么之前的步骤我们可以分为两步,也就是求 [l, k-1] 和 [k+1, r] 之间的最大分数。
那么为什么不考虑先戳破 k 呢?因为这样的话 [l, k-1] 和 [k+1, r] 就会连接在一起,两个子状态就不能独立计算了,互相会产生影响。
两个子区间的最大的分算完之后,最后 k 的得分就是 nums[l-1] * nums[k] * nums[r+1] ,取使得总得分最高的 k 就行了。
有一个小技巧就是,提示里也说了,就是刚开始的时候在首尾各添加一个分数为 1 的虚拟气球。
但是直接这样递归会超时,因为有很多的子状态都重复计算了,所以可以用一个全局的数组保存每个状态的分数。初始化为 -1 ,如果某个状态计算过了,就直接返回它的值就行了,不然就递归计算。
上面的方法是自顶向下的,其实也可以转化成自底向上的,也就是从小的区间开始算起,最后算最大的,这就是动态规划的方法,具体的实现细节和上面是一模一样的。
- class Solution {
- public:
- static const int N = 510;
- int dp[N][N];
-
- int maxCoins(vector<int>& nums) {
- int n = nums.size();
- nums.insert(nums.begin(), 1);
- nums.push_back(1);
- memset(dp, -1, sizeof dp);
- int res = dfs(1, n, nums);
- return res;
- }
-
- int dfs(int l, int r, vector<int>& nums) {
- if (dp[l][r] != -1) return dp[l][r];
- if (l > r) return 0;
- int res = 0;
- for (int k = l; k <= r; ++k) {
- res = max(res, nums[l-1]*nums[k]*nums[r+1]+dfs(l, k-1, nums)+dfs(k+1, r, nums));
- }
- return dp[l][r] = res;
- }
- };
- class Solution {
- public:
- static const int N = 510;
- int dp[N][N];
-
- int maxCoins(vector<int>& nums) {
- int n = nums.size();
- nums.insert(nums.begin(), 1);
- nums.push_back(1);
- memset(dp, 0, sizeof dp);
- for (int len = 1; len <= n; ++len) {
- for (int i = 1; i+len-1 <= n; ++i) {
- int j = i + len - 1;
- for (int k = i; k <= j; ++k) {
- dp[i][j] = max(dp[i][j], nums[i-1]*nums[k]*nums[j+1] + dp[i][k-1] + dp[k+1][j]);
- }
- }
- }
- return dp[1][n];
- }
- };
- class Solution:
- def maxCoins(self, nums: List[int]) -> int:
- n = len(nums)
- nums = [1] + nums + [1]
- self.dp = [[-1]*(n+2) for _ in range(n+2)]
- res = self.dfs(1, n, nums)
- return res
-
- def dfs(self, l, r, nums):
- if self.dp[l][r] != -1:
- return self.dp[l][r]
- if l > r:
- return 0
- res = 0
- for k in range(l, r+1):
- res = max(res, nums[l-1]*nums[k]*nums[r+1]+self.dfs(l, k-1, nums)+self.dfs(k+1, r, nums))
- self.dp[l][r] = res
- return res
- class Solution:
- def maxCoins(self, nums: List[int]) -> int:
- n = len(nums)
- nums = [1] + nums + [1]
- dp = [[0]*(n+2) for _ in range(n+2)]
- for l in range(1, n+1):
- for i in range(1, n-l+2):
- j = i + l - 1
- for k in range(i, j+1):
- dp[i][j] = max(dp[i][j], nums[i-1]*nums[k]*nums[j+1] + dp[i][k-1] + dp[k+1][j])
- return dp[1][n]
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