粒子群优化算法求解函数最值_第3关:粒子群算法 - 目标函数最优解计算

一、实验题目

计算如下二元函数的最小值：

（其中自变量x、y的范围均为[-50, 50]）

• 用matlab代码实现。
• 代码必须能一键运行。
• 最后输出x,y和z的最优值及收敛到最优值所需的迭代步数。
• 算法关键参数需要注释清楚（如权重因子、学习因子、速度变化范围等）。

二、算法原理

粒子群优化算法求最优解

1、问题描述

D维空间中，有N个粒子；

    粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)，将xi代入适应函数f(xi)求适应值；

    粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)

    粒子i个体经历过的最好位置：pbesti=(pi1,pi2,…piD)

    种群所经历过的最好位置：gbest=(g1,g2,…gD)

通常，在第d（1≤d≤D）维的位置变化范围限定在内，速度变化范围限定在 内（即在迭代中若 超出了边界值，则该维的速度或位置被限制为该维最大速度或边界位置）

2、算法公式

粒子i的第d维速度更新公式：

   

粒子i的第d维位置更新公式：

   —第k次迭代粒子i飞行速度矢量的第d维分量

—第k次迭代粒子i位置矢量的第d维分量

    c1,c2—加速度常数，调节学习最大步长

    r1,r2—两个随机函数，取值范围[0，1]，以增加搜索随机性

    w —惯性权重，非负数，调节对解空间的搜索范围

粒子速度更新公式包含三部分：

   第一部分为粒子先前的速度

   第二部分为“认知”部分，表示粒子本身的思考，可理解为粒子i当前位置与自己最好位置之间的距离。

   第三部分为“社会”部分，表示粒子间的信息共享与合作，可理解为粒子i当前位置与群体最好位置之间的距离。

3、算法流程

（1）Initial：

初始化粒子群体（群体规模为n），包括随机位置和速度。

设定参数运动范围，设定学习因子c1、c2，最大进化代数G，kg表示当前的进化代数。在一个D维参数的搜索解空间中，粒子组成的种群规模大小为Size，每个粒子代表解空间的一个候选解，其中第i（1≤i≤Size）个粒子在整个解空间的位置表示为Xi，速度表示为Vi。第i个粒子从初始到当前迭代次数搜索产生的最优解，个体极值Pi，整个种群目前的最优解为BestS。随机产生Size个粒子，随机产生初始种群的位置矩阵和速度矩阵。

（2）Evaluation：

 根据fitness function ，评价每个粒子的适应度。

个体评价（适应度评价）：将各个粒子初始位置作为个体极值，计算群体中各个粒子的初始适应值f（Xi），并求出种群最优位置。

（3）Update the speed and position:

更新粒子的速度和位置，产生新种群，并对粒子的速度和位置进行越界检查，为避免算法陷入局部最优解，加入一个局部自适应变异算子进行调整。

其中，kg=1，2，…，G，i=1，2，…，Size，r1和r2为0到1的随机数，c1为局部学习因子，c2为全局学习因子，一般取c2大些。

(4)Find the Pbest：

   对每个粒子，将其当前适应值与其个体历史最佳位置（pbest）对应的适应值做比较，如果当前的适应值更高，则将用当前位置更新历史最佳位置pbest。

(5）Find the Gbest：

对每个粒子，将其当前适应值与全局最佳位置（gbest）对应的适应值做比较，如果当前的适应值更高，则将用当前粒子的位置更新全局最佳位置gbest。

（6）Update the Velocity：

 根据公式更新每个粒子的速度与位置。如未满足结束条件，则返回步骤2。通常算法达到最大迭代次数     或者最佳适应度值的增量小于某个给定的阈值时算法停止。

三、实验代码与结果

1、实验代码

function main
 
 
%由于原代码求取的最大值，最小值的话直接将目标函数取成相反数即可
%很显然，结果只能无限逼近 3与5  跟算法原理有关(类似遗传算法）
 
 
clear all;
close all;
%（1）初始化粒子群算法参数
min=-50;max=50;%粒子位置范围
Vmax=25;Vmin=-25;%粒子运动速度范围
c1=1.3;c2=1.7;  %学习因子[0，4]
 
wmin=0.20;wmax=0.90;%惯性权重
G=400;          % 最大迭代次数
Size=100;        %初始化群体个体数目
 
for i=1:G
    w(i)=wmax-((wmax-wmin)/G)*i;  %随着优化进行，应降低自身权重
end  
 
for i=1:Size
    for j=1:2
        x(i,j)=min+(max-min)*rand(1);     %随机初始化位置
        v(i,j)=Vmin +(Vmax-Vmin)*rand(1); %随机初始化速度
    end
end
 
%（2）计算各个粒子的适应度，并初始化Pi、plocal和最优个体BestS
for i=1:Size
    p(i)=func(x(i,:));
    y(i,:)=x(i,:);
    
    if i==1
        plocal(i,:)=evaluate_localbest(x(Size,:),x(i,:),x(i+1,:));
    elseif i==Size
        plocal(i,:)=evaluate_localbest(x(i-1,:),x(i,:),x(1,:));
        else 
        plocal(i,:)=evaluate_localbest(x(i-1,:),x(i,:),x(i+1,:));
    end
end
 
BestS=x(1,:);%初始化最优个体BestS
for i=2:Size
    if func(x(i,:))>func(BestS)
        BestS=x(i,:);
    end
end
 
%（3）进入主循环
for kg=1:G
    for i=1:Size
        
      M=1;
      if M==1
         v(i,:)=w(kg)*v(i,:)+c1*rand*(y(i,:)-x(i,:))+c2*rand*(plocal(i,:)-x(i,:));%局部寻优：加权，实现速度的更新
      elseif M==2
         v(i,:)=w(kg)*v(i,:)+c1*rand*(y(i,:)-x(i,:))+c2*rand*(BestS-x(i,:));      %全局寻优：加权，实现速度的更新
      end
          for j=1:2   %检查速度是否越界
            if v(i,j)<Vmin
                v(i,j)=Vmin;
            elseif  x(i,j)>Vmax
                v(i,j)=Vmax;
            end
          end
        x(i,:)=x(i,:)+v(i,:)*1; %实现位置的更新
        for j=1:2   %检查位置是否越界
            if x(i,j)<min
                x(i,j)=min;
            elseif  x(i,j)>max
                x(i,j)=max;
            end
        end         
%自适应变异,避免粒子群算法陷入局部最优
       if rand>0.60
            k=ceil(2*rand);
            x(i,k)=min+(max-min)*rand(1);
       end
%（4）判断和更新
       if i==1
            plocal(i,:)=evaluate_localbest(x(Size,:),x(i,:),x(i+1,:));
        elseif i==Size
            plocal(i,:)=evaluate_localbest(x(i-1,:),x(i,:),x(1,:));
        else 
            plocal(i,:)=evaluate_localbest(x(i-1,:),x(i,:),x(i+1,:));
        end
       
       if func(x(i,:))>p(i) %判断当此时的位置是否为最优的情况，当不满足时继续更新
          p(i)=func(x(i,:));
          y(i,:)=x(i,:);
        end
        if p(i)>func(BestS)
            BestS=y(i,:);
        end
    end
Best_value(kg)=func(BestS);
end
figure(1);
kg=1:G;
plot(kg,-Best_value,'r','linewidth',2);
xlabel('generations');ylabel('Fitness function');
 
 
% display('Best Sample=');disp(BestS);
display('X=');disp(BestS(1));
display('Y=');disp(BestS(2));
% display('Biggest value=');disp(Best_value(G));
display('Z=');disp(Best_value(G));
for i=1:G
    if Best_value(i)==Best_value(end)
        disp('收敛到最优值需要的迭代步数');
        disp(i);
        break;
    end
end
 
end
 
 
function f = func(x)
f=-(0.5*(x(1)-3)^2+0.2*(x(2)-5)^2-0.1);
end
 
function f =evaluate_localbest(x1,x2,x3)%求解粒子环形邻域中的局部最优个体
K0=[x1;x2;x3];
K1=[func(x1),func(x2),func(x3)];
[maxvalue index]=max(K1);
plocalbest=K0(index,:);
f=plocalbest;
end

2、实验结果

X=
    3.0022
 
Y=
    5.0068
 
Z=
    0.1000
 
收敛到最优值需要的迭代步数
   379

PS:该代码有智能控制刘金锟第四版更改，更加详细的内容请查看原作。