DP——入门_c++dp

C++中的动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种常用的算法思想，用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。下面将详细介绍C++中的动态规划。

1. 动态规划的基本原理

动态规划通过将大问题分解为小问题，并利用已经求解过的子问题的解来构建整体解决方案。它通常包含以下步骤：

• 定义状态：确定问题的状态以及状态的表示方法。
• 确定状态转移方程：根据问题的最优子结构性质，定义状态之间的转移关系。
• 初始化边界条件：给定初始状态的值，用于计算后续状态。
• 进行状态转移：使用状态转移方程逐步计算出问题的最优解。
• 返回结果：返回最终的问题解。

2. 动态规划的实现步骤

步骤1：定义状态

定义问题的状态，确定状态的表示方法。例如，对于背包问题，可以定义dp[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。

步骤2：确定状态转移方程

确定状态之间的转移关系，以及如何根据已知状态求解新的状态。这是动态规划的关键步骤。根据问题不同，转移方程也不同。

以背包问题为例，可以使用如下的状态转移方程：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])

其中，w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。dp[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。

步骤3：初始化边界条件

对于需要计算的状态，设置初始值，用于计算后续状态。通常将dp数组的边界条件进行初始化，例如将dp[0][j]和dp[i][0]的值设置为0，意义同上。

步骤4：进行状态转移

根据状态转移方程，逐步计算出问题的最优解。通常使用循环来遍历所有可能的状态，从边界向目标状态逐步计算。

步骤5：返回结果

根据问题的要求，返回最终的问题解。例如，背包问题中，返回dp[n][m]表示前n个物品放入容量为m的背包中所能获得的最大价值。

3. 动态规划的实例

以下是一个简单的动态规划问题示例：计算斐波那契数列的第n项。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,dp[10001];
int fibonacci(int n) {
    dp[0] = 0;
    dp[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
}
 
int main() {
    cin>>n;
    int result = fibonacci(n);
    cout << "Fibonacci(" << n << ") = " << result << endl;
    return 0;
}

在上面的示例中，我们使用动态规划的思想计算斐波那契数列的第n项。通过定义状态dp[i]表示第i个斐波那契数，然后使用状态转移方程dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]来计算每个状态。最终返回dp[n]表示第n个斐波那契数。

这只是动态规划的一个简单示例，实际应用中可能涉及更复杂的问题和状态转移方程。我会在之后的文章中再进行讲解。