递归-记忆化搜索_递归函数(reduce) 记忆化搜索 w(a,b,c)

正文例子：

在讲记忆化搜索之前，我们来分析一下，递归的弊端。

这里以经典简单的斐波那契数列的递归解决方法作为例子；

int fibnacci(int n)
{
	if (n == 1) return 1;
	if (n == 0) return 0;
	return fibnacci(n - 1) + fibnacci(n - 2);
}

这个经典的递归，存在很多重复计算的情况，画出递归树可以很直观的观察到这点。

 那么，如何解决这一情况呢？可以使用一个数组（备忘录），用来存储已经计算过的情况，如果再次遇到这种情况，直接返回这种情况对应的值即可，这样便可以大大节省时间与空间。

优化后的计算斐波那契数列的代码为：

int Fibnacci(int n, int arr[])
{
	if (arr[n] != -1)
		return arr[n];
	arr[0] = 0;
	arr[1] = 1;
	if(n>=2)
	arr[n] = Func_1(n - 1, arr) + Func_1(n - 2, arr);
	return arr[n];
}

arr[n]存储了当问题规模为n时的结果，这里如果arr[n]内的值如果为-1，代表问题规模为n时尚未计算过，反之则会储存问题规模为n时的数据。

后续如果再次遇到与之重复的结点，就会可以直接拿来用。

记忆化搜索本质还是动态规划，只不过采用了DFS的形式。

由于其会“记忆”住已经计算过的结点，因而不会出现重复计算结点的情况，使递归的时间及空间复杂度大大缩减。

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例题

Function - 洛谷

对于一个递归函数 w(a,b,c)

• 如果 a≤0 或b≤0 或0c≤0 就返回值1。
• 如果 a>20 或 b>20 或 c>20 就返回 w(20,20,20)
• 如果 a<b 并且 b<c 就返回w(a,b,c-1)+w(a,b-1,c-1)-w(a,b-1,c)
• 其它的情况就返回 w(a-1,b,c)+w(a-1,b-1,c)+w(a-1,b,c-1)-w(a-1,b-1,c-1)

这是个简单的递归函数，但实现起来可能会有些问题。当 a,b,c 均为 15 时，调用的次数将非常的多。你要想个办法才行。

注意：例如 w(30,-1,0) 又满足条件 11 又满足条件 22，请按照最上面的条件来算，答案为 11。

输入格式

会有若干行。

并以 -1,-1,-1 结束。

保证输入的数在[−9223372036854775808,9223372036854775807] 之间，并且是整数。

输出格式

输出若干行，每一行格式：

w(a, b, c) = ans

题解

直接进行递归会TLE，所以需要进行优化，也就是记忆化搜索。定义一个三维数组memory,

memory[a][b][c]表示形参为a，b，c的递归的结点的数据，后续再次递归到该结点就直接拿出来用。

属于是入门级题目。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL memory[100][100][100];
//记忆化搜索。
LL w(LL a, LL b, LL c)
{
	if (a <= 0 || b <= 0 || c <= 0) return 1;
	else if (a > 20 || b > 20 || c > 20)
		return w(20, 20, 20);
	else if (memory[a][b][c] != 0)
		return memory[a][b][c];
	else if (a < b && b < c)
	{
		memory[a][b][c] = w(a, b, c - 1) + w(a, b - 1, c - 1) - w(a, b - 1, c);
		return memory[a][b][c];
	}
	else
	{
		memory[a][b][c] = w(a - 1, b, c) + w(a - 1, b - 1, c) + w(a - 1, b, c - 1) - w(a - 1, b - 1, c - 1);
		return memory[a][b][c];
	}
	return memory[a][b][c];
}
 
int main()
{
	int a, b, c;
	while (cin >> a >> b >> c)
	{
		if (a == -1 && b == -1 && c == -1)
			break;
		cout << "w(" << a << ", " << b << ", " << c << ")" << " = ";
		cout << w(a, b, c) << endl;
	}
	return 0;
}