“序列优化探究：最长上升子序列的算法发现与应用“_最长上升子序列优化

最长上升子序列

最长上升子序列是指在一个给定序列中，找到一个最长的子序列，使得子序列中的元素单调递增。例如，序列 [1, 3, 5, 4, 7] 的最长上升子序列是 [1, 3, 5, 7]，长度为4。

这是一个经典的动态规划问题。

假设dp[i]表示以第i个元素为结尾的最长上升子序列的长度。

可以用一个嵌套循环来遍历所有的元素对，如果前一个元素小于后一个元素，则可以将后一个元素添加到前一个元素所在的最长上升子序列中，从而得到以第i个元素为结尾的最长上升子序列长度。

具体地，我们可以这样定义dp[i]：

for (int j = 0; j < i; j++)
    if nums[j] < nums[i]
        dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
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其中，nums是给定的序列，dp[i]表示以nums[i]为结尾的最长上升子序列长度，j是i之前的元素。由于我们需要找到最长的上升子序列，因此最终的答案应该是dp数组中的最大值。

下面是一个使用动态规划求解LIS问题的C++代码：

代码（动态规划）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 该函数求 nums 序列的最长子序列
int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
    int n = nums.size();
    // 特判空序列
    if (n == 0) return 0;

    // 状态数组，初始化成1，因为各个元素可以单独构成一个上升序列
    vector<int> dp(n, 1);
    
    // 从nums[1] 开始遍历整个数组
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        // 从前往后比那里之前的元素
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            // j 位置的元素值小于 i 位置的元素值，则 nums[i] 可以拼接在 nums[j] 后面
            if (nums[j] < nums[i]) { 
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }
    }
    
    // 状态数组中最大的值就是最长上升子序列的长度
    return *max_element(dp.begin(), dp.end());

}

int main() {
    vector<int> nums = {10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18};
    int ans = lengthOfLIS(nums);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}
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在上面的代码中：

首先定义了一个长度为 n 的 dp 数组，将其初始化为 1，因为每个元素本身都可以构成一个长度为 1 的上升子序列。

然后，用两个嵌套的循环来遍历所有的元素对，如果前一个元素小于后一个元素，则可以将后一个元素添加到前一个元素所在的最长上升子序列中，从而得到以第i个元素为结尾的最长上升子序列长度。

最后，我们返回dp数组中的最大值作为最长上升子序列的长度。

上述算法的时间复杂度为O(n^2)，可以通过使用二分查找来将时间复杂度降为O(nlogn)。

具体来说，我们可以维护一个长度为 len 的子序列，其中 len 表示当前子序列的长度。

遍历所有的元素，如果当前元素比子序列中的最后一个元素还大，就将其添加到子序列的末尾，并将子序列长度加1。

否则，我们可以用二分查找找到子序列中第一个大于等于当前元素的位置，将该位置上的元素替换为当前元素，从而保证子序列仍然是上升的。

最终，子序列的长度就是最长上升子序列的长度。

下面是一个使用二分查找求解LIS问题的C++代码：

代码（二分优化）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 该函数求 nums 序列的最长子序列
int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
    int n = nums.size();
    // 特判空序列
    if (n == 0) return 0;
    // 保存状态
    vector<int> dp;

    //依次遍历各个元素
    for (int i = 0; i < n; i++) {
    
        // 二分法找到第一个大于等于 nums[i] 的元素的位置
        int pos = lower_bound(dp.begin(), dp.end(), nums[i]) - dp.begin();
        // 如果没找到，就把 nums[i] 直接加入到 状态数组
        if (pos == dp.size()) {
            dp.push_back(nums[i]);
        } 
        // 否则，用 nums[i] 替换该位置元素 
        else {
            dp[pos] = nums[i];
        }
    }
    // 状态数组的长度就是最长子序列的长度
    return dp.size();

}

int main() {
    vector<int> nums = {10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18};
    int ans = lengthOfLIS(nums);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}
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在上面的代码中：

定义了一个空的dp数组，表示当前最长上升子序列。

对于每个元素，可以用lower_bound函数找到dp数组中第一个大于等于当前元素的位置pos。

然后将该位置上的元素替换为当前元素。如果pos等于dp的长度，表示当前元素比子序列中的所有元素都大，因此可以将其添加到子序列的末尾。

最终，子序列的长度就是最长上升子序列的长度。

时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(n)。可以看到，使用二分查找算法的时间复杂度要比暴力算法低得多，因此在实际应用中更为常用。

Java代码

import java.util.*;
public class Main{
    public static void main(String[] args){
        Scanner scan = new  Scanner(System.in);
        int N = 1010;
        int[] f = new int[N]; //以i为结尾的数的上升子序列中最大值
        int[] a = new int[N]; //数列
        int n = scan.nextInt();
        for(int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){
            a[i] = scan.nextInt();
        }

        for(int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){
            // 以i为结尾的数的上升子序列中最大值，每个数最低的个数就是1，所以将每一个数一开始初始化成1
            f[i] = 1; 
            //求以i为结尾的最长上升子序列，就是求他的f[i - 1] 的最长上升子序列加上1，就是i本身
            for(int j = 1 ; j < i ; j ++){
                if(a[i] > a[j])    // 枚举前面的数，如果前面比i这个数小的就加1，一直加到枚举到i - 1
                    f[i]  = Math.max(f[i],f[j] + 1);
            }     
        }

        int res = 0;
        for(int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){
            res = Math.max(res,f[i]);
        }
        System.out.println(res);
    }
}
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类型题：怪盗基德的滑翔翼

题目描述

怪盗基德是一个充满传奇色彩的怪盗，专门以珠宝为目标的超级盗窃犯。
而他最为突出的地方，就是他每次都能逃脱中村警部的重重围堵，而这也很大程度上是多亏了他随身携带的便于操作的滑翔翼。
有一天，怪盗基德像往常一样偷走了一颗珍贵的钻石，不料却被柯南小朋友识破了伪装，而他的滑翔翼的动力装置也被柯南踢出的足球破坏了。
不得已，怪盗基德只能操作受损的滑翔翼逃脱。
假设城市中一共有N幢建筑排成一条线，每幢建筑的高度各不相同。
初始时，怪盗基德可以在任何一幢建筑的顶端。
他可以选择一个方向逃跑，但是不能中途改变方向（因为中森警部会在后面追击）。
因为滑翔翼动力装置受损，他只能往下滑行（即：只能从较高的建筑滑翔到较低的建筑）。
他希望尽可能多地经过不同建筑的顶部，这样可以减缓下降时的冲击力，减少受伤的可能性。
请问，他最多可以经过多少幢不同建筑的顶部(包含初始时的建筑)？

分析

怪盗基德可以从任意一个楼房出发，只能向低的楼房跳，倒着看就是最长上升子序列，同时他可以向两个方向跳，因此需要正反两个方向求最长上升子序列，也可以一个方向分别求上升和下降。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int f[N],a[N],d[N];
int k,n;

int main()
{
    scanf("%d",&k);
    while(k--){
        scanf("%d",&n);
        // memset(f,1,sizeof(f));
        // memset(a,0,sizeof(a));
        for(int i=1;i<=n;i++){
            f[i] = 1;
            d[i] = 1;
            scanf("%d",&a[i]);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<i;j++){
                if(a[j]<a[i])f[i] = max(f[i],f[j]+1);
                if(a[j]>a[i])d[i] = max(d[i],d[j]+1);
            }
        

        int res = 0;
        for(int i=1;i<=n;i++)res = max(res,max(f[i],d[i]));
        printf("%d\n",res);
    }
    return 0;

}
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