神经网络入门之线性回归_用神经网络实现线性回归

转载自chen_h的翻译

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原文Peter's Notes

该教程将介绍如何入门神经网络，一共包含五部分。你可以在以下链接找到完整内容。

• （一）神经网络入门之线性回归
• Logistic分类函数
• （二）神经网络入门之Logistic回归（分类问题）
• （三）神经网络入门之隐藏层设计
• Softmax分类函数
• （四）神经网络入门之矢量化
• （五）神经网络入门之构建多层网络

这篇教程中的代码是由 Python 2 IPython Notebook产生的，在教程的最后，我会给出全部代码的链接，帮助学习。神经网络中有关矩阵的运算我们采用NumPy来构建，画图使用Matplotlib来构建。如果你来没有按照这些软件，那么我强烈建议你使用Anaconda Python来安装，这个软件包中包含了运行这个教程的所有软件包，非常方便使用。

我们先导入教程需要的软件包

from __future__ import print_function
 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

线性回归

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本教程主要包含三部分：

• 一个非常简单的神经网络
• 一些概念，比如目标函数，损失函数
• 梯度下降

首先我们来构建一个最简单的神经网络，这个神经网络只有一个输入，一个输出，用来构建一个线性回归模型，从输入的x来预测一个真实结果t。神经网络的模型结构为y = x * w，其中x是输入参数，w是权重，y是预测结果。神经网络的模型可以被表示为下图：

在常规的神经网络中，神经网络结构中有多个层，非线性激活函数和每个节点上面的偏差单元。在这个教程中，我们只使用一个只有一个权重w的层，并且没有激活函数和偏差单元。在简单线性回归中，权重w和偏差单元一般都写成一个参数向量β，其中偏差单元是y轴上面的截距，w是回归线的斜率。在线性回归中，我们一般使用最小二乘法来优化这些参数。

在这篇教程中，我们的目的是最小化目标损失函数，使得实际输出的y和正确结果t尽可能的接近。损失函数我们定义为：

对于损失函数的优化，我们采用梯度下降，这个方法是神经网络中常见的优化方法。

定义目标函数

在这个例子中，我们使用函数f来产生目标结果t，但是对目标结果加上一些高斯噪声N(0, 0.2)，其中N表示正态分布，均值是0，方差是0.2，f定义为f(x) = 2x，x是输入参数，回归线的斜率是2，截距是0。所以最后的t = f(x) + N(0, 0.2)。

我们将产生20个均匀分布的数据作为数据样本x，然后设计目标结果t。下面的程序我们生成了x和t，以及画出了他们之间的线性关系。

# Define the vector of input samples as x, with 20 values sampled from a uniform distribution
# between 0 and 1
x = np.random.uniform(0, 1, 20)
 
# Generate the target values t from x with small gaussian noise so the estimation won't be perfect.
# Define a function f that represents the line that generates t without noise
def f(x): return x * 2
 
# Create the targets t with some gaussian noise
noise_variance = 0.2 # Variance of the gaussian noise
# Gaussian noise error for each sample in x
noise = np.random.randn(x.shape[0]) * noise_variance
# Create targets t
t = f(x) + noise

# Plot the target t versus the input x
plt.plot(x, t, 'o', label='t')
# Plot the initial line
plt.plot([0, 1], [f(0), f(1)], 'b-', label='f(x)')
plt.xlabel('$x$', fontsize=15)
plt.ylabel('$t$', fontsize=15)
plt.ylim([0,2])
plt.title('inputs (x) vs targets (t)')
plt.grid()
plt.legend(loc=2)
plt.show()

定义损失函数

我们将优化模型y = w * x中的参数w，使得对于训练集中的N个样本，损失函数达到最小。

即，我们的优化目标是：

从函数中，我们可以发现，我们将所有样本的误差都进行了累加，这就是所谓的批训练（batch training）。我们也可以在训练的时候，每次训练一个样本，这种方法在在线训练中非常常用。

我们利用以下函数画出损失函数与权重的关系。从图中，我们可以看出损失函数的值达到最小时，w的值是2。这个值就是我们函数f(x)的斜率。这个损失函数是一个凸函数，并且只有一个全局最小值。

nn(x, w)函数实现了神经网络模型，cost(y, t)函数实现了损失函数。

# Define the neural network function y = x * w
def nn(x, w): return x*w
 
# Define the cost function
def cost(y, t): return ((t - y) ** 2).sum()

优化损失函数

对于教程中简单的损失函数，可能你看一眼就能知道最佳的权重是什么。但是对于复杂的或者更高维度的损失函数，这就是我们为什么要使用各种优化方法的原因了。

梯度下降

在训练神经网络中，梯度下降算法是一种比较常用的优化算法。梯度下降算法的原理是损失函数对于每个参数进行求导，并且利用负梯度对参数进行更新。权重w通过循环进行更新：

其中，w(k)表示权重w更新到第k步时的值，Δw为定义为：

其中，μ是学习率，它的含义是在参数更新的时候，每一步的跨度大小。∂ξ/∂w表示损失函数ξ对于w的梯度。对于每一个训练样本i，我们可以利用链式规则推导出对应的梯度，如下：

其中，ξi是第i个样本的损失函数，因此，∂ξi/∂yi可以这样进行推导：

因为y(i) = x(i) ∗ w，所以我们对于∂yi/∂w可以这样进行推导：

因此，对于第i个训练样本，Δw的完整推导如下：

在批处理过程中，我们将所有的梯度都进行累加：

在进行梯度下降之前，我们需要对权重进行一个初始化，然后再使用梯度下降算法进行训练，最后直至算法收敛。学习率作为一个超参数，需要单独调试。

gradient(w, x, t)函数实现了梯度∂ξ/∂w，delta_w(w_k, x, t, learning_rate)函数实现了Δw。

# define the gradient function. Remember that y = nn(x, w) = x * w
def gradient(w, x, t):
  return 2 * x * (nn(x, w) - t)
 
# define the update function delta w
def delta_w(w_k, x, t, learning_rate):
  return learning_rate * gradient(w_k, x, t).sum()
 
# Set the initial weight parameter
w = 0.1
# Set the learning rate
learning_rate = 0.1
 
# Start performing the gradient descent updates, and print the weights and cost:
nb_of_iterations = 4 # number of gradient descent updates
w_cost = [(w, cost(nn(x, w), t))] # List to store the weight, costs values
for i in range(nb_of_iterations):
  dw = delta_w(w, x, t, learning_rate) # Get the delta w update
  w = w - dw # Update the current weight parameter
  w_cost.append((w, cost(nn(x, w), t))) # Add weight, cost to list
 
# Print the final w, and cost
for i in range(0, len(w_cost)):
  print('w({}): {:.4f} \t cost: {:.4f}'.format(i, w_cost[i][0], w_cost[i][1]))
 
# output
w(0): 0.1000   cost: 23.3917
w(1): 2.3556   cost: 1.0670
w(2): 2.0795   cost: 0.7324
w(3): 2.1133   cost: 0.7274
w(4): 2.1091   cost: 0.7273

从计算结果中，我们很容易的看出来了，梯度下降算法很快的收敛到了2.0左右，接下来可视化一下梯度下降过程。

# Plot the first 2 gradient descent updates
plt.plot(ws, cost_ws, 'r-')  # Plot the error curve
# Plot the updates
for i in range(0, len(w_cost)-2):
  w1, c1 = w_cost[i]
  w2, c2 = w_cost[i+1]
  plt.plot(w1, c1, 'bo')
  plt.plot([w1, w2],[c1, c2], 'b-')
  plt.text(w1, c1+0.5, '$w({})$'.format(i)) 
# Show figure
plt.xlabel('$w$', fontsize=15)
plt.ylabel('$\\xi$', fontsize=15)
plt.title('Gradient descent updates plotted on cost function')
plt.grid()
plt.show()

梯度更新

上图展示了梯度下降的可视化过程。图中蓝色的点表示在第k轮中w(k)的值。从图中我们可以得知，w的值越来越收敛于2.0。该模型训练10次就能收敛，如下图所示。

w = 0
# Start performing the gradient descent updates
nb_of_iterations = 10  # number of gradient descent updates
for i in range(nb_of_iterations):
  dw = delta_w(w, x, t, learning_rate)  # get the delta w update
  w = w - dw  # update the current weight parameter

# Plot the fitted line agains the target line
# Plot the target t versus the input x
plt.plot(x, t, 'o', label='t')
# Plot the initial line
plt.plot([0, 1], [f(0), f(1)], 'b-', label='f(x)')
# plot the fitted line
plt.plot([0, 1], [0*w, 1*w], 'r-', label='fitted line')
plt.xlabel('input x')
plt.ylabel('target t')
plt.ylim([0,2])
plt.title('input vs. target')
plt.grid()
plt.legend(loc=2)
plt.show()