随机梯度下降_随机梯度下降求二元函数最小值

随机梯度下降( stochastic gradient descent )

          简单的介绍一下什么是随机梯度下降，为什么要用随机梯度下降这个方法。

1.背景

        在我们进行深度学习的时候，对于神经网络的输出结果，我们需要知道结果对不对，以及每个神经元的阈值和权重对不对，对于以及我调整一下权重和阈值，神经网络的输出结果和我们预期的输出结果会更接近还是误差更大。如果更接近，那么我们可以继续调整权重和阈值，让神经网络的输出结果等于预期。那么我们如何进行定量的分析呢？不能只依靠感觉，这个时候，我们引入函数

$$\begin{eqnarray} C(w,b) \equiv \frac{1}{2n} \sum_x \| y(x) - a\|^2. \tag{1}\end{eqnarray}$$ 其中 $y(x)$代表我们预期的输出结果，比如说，一个识别手写阿拉伯数字的神经网络，我们网络的输出就是一个10维的向量，比如 $(1,0,0,0,0,0,0,0,0,0)$代表0， $(0,1,0,0,0,0,0,0,0,0)代表1$，而a代表一个神经网络实际输出的结果, $w$和$b$就分别代表了权重和阈值。也就是说，我们如果想要让一个神经网络的结果更准确，就需要找到合适的 $w$,$b$，让C更小。即求函数C的最小值。

      也就是说，我们现在是要求一个函数的最小值，让我们仅仅从数学方面思考，如何求解一个函数的最小值。假设有一个函数$C(v)$,而这个函数有两个变量$v_1$,$v_2$，首先想到的就是微积分，假如只有2个变量，我们就要求出函数的二阶偏导，然后再令二阶偏导等于0，算出几个点，再判断这几个点哪个是最大值，哪个是最小值，哪个是鞍点。可是问题是，我们处理的数据大部分都是多维的，甚至达到百万级别，所以用微积分的话，那就很难算出来了。因此我们就需要梯度下降的方法

2.梯度下降的思想

        我们先假设在求一个二元函数的最小值，它的图像如图所示：

        假设我们在这个图像曲面上放置一个小球，它受到重力影响，肯定会往下滑落，而最终停止的地方，就是整个函数的最小值，这个就是梯度下降的大致思想。为了更清楚的说明这个问题, 我们把$v_1$在$v_1$ 方向移动$\Delta v_1$ ，在$v_2$ 在$v_2$ 方向移动$\Delta v_2$，根据微积分，我们可以得到:

$$\begin{eqnarray} \Delta C \approx \frac{\partial C}{\partial v_1} \Delta v_1 + \frac{\partial C}{\partial v_2} \Delta v_2. \tag{2}\end{eqnarray}$$ 现在我们需要找到合适的 $v_1$和 $v_2$，可以让 $\Delta C$小于0，这样我们才能让小球一直往最低点前进。因为函数C的梯度为： $$\begin{eqnarray} \nabla C \equiv \left( \frac{\partial C}{\partial v_1}, \frac{\partial C}{\partial v_2} \right)^T. \tag{3}\end{eqnarray}$$ 因此(3)可以改写成 $$\begin{eqnarray} \Delta C \approx \nabla C \cdot \Delta v. \tag{4}\end{eqnarray}$$ 那么我们如何选择 $\Delta v$令 $\nabla C$为负数呢？我们可以选择令: $$\begin{eqnarray} \Delta v = -\eta \nabla C \tag{5}\end{eqnarray}$$ 原式可变为 $\Delta C \approx -\eta \nabla C \cdot \nabla C = -\eta \|\nabla C\|^2$. 因为 $\| \nabla C \|^2 \geq 0$, 这就保证了 $\Delta C \leq 0$。 那么 $-\eta$怎么求呢？因为 $\Delta v=-\eta\nabla C$，因此 $-\eta=\frac{ \|\Delta v\|\ }{ \|\nabla C|\|}$,我们可以事先规定 $\|\Delta v \|\ $的大小，然后求出 $\|\ \nabla C \|\ $。那么 ${-\eta}$的值就求出来了。

3.随机梯度下降

        根据前面的介绍，我们已经可以算出最小点在哪里了(理论上)，但是随机梯度下降还有一些问题，我在这里说两个： （１）容易陷入局部极小值，在前面的图中，我们只画出了一个全局极小值点，所以梯度下降可以直接找到最小点，但是在实际中，函数会有很多局部极小值，因此梯度下降可能会停止在局部极小值中，而不是全局极小值。 （２）计算量太大，注意到式(1)，我们计算所有输入图像的cost function，然后取平均，这样计算量太大了。 因此，我们可以通过计算一个小样本里的$\nabla C_x$ 来估计 $\nabla C$ 的值。 我们随机选取输入 $X_1, X_2, \ldots, X_m$, 把它们看做是一个迷你批(mini-batch). 样本数 $m$ 要足够大以致于我们可以估计出$\nabla C_{X_j}$如下式所示：

$$\begin{eqnarray} \frac{\sum_{j=1}^m \nabla C_{X_{j}}}{m} \approx \frac{\sum_x \nabla C_x}{n} = \nabla C, \tag{6}\end{eqnarray}$$ 两边互换一下，即可得： $$\begin{eqnarray} \nabla C \approx \frac{1}{m} \sum_{j=1}^m \nabla C_{X_{j}}, \tag{7}\end{eqnarray}$$ 应用到神经网络上，可以得到下式： $$\begin{eqnarray} w_k & \rightarrow & w_k' = w_k-\frac{\eta}{m} \sum_j \frac{\partial C_{X_j}}{\partial w_k} \tag{8}\\ b_l & \rightarrow & b_l' = b_l-\frac{\eta}{m} \sum_j \frac{\partial C_{X_j}}{\partial b_l}, \tag{9}\end{eqnarray}$$ 其中 $w$ 和$b$ 分别代表权值和阈值。当我们遍历完所有迷你批以后，接着在剩下的样本中选取第二个迷你批，直到穷尽所有样本，此时称为完成一次epoch。然后继续上述过程。

参考资料：《Neural Networks and Deep Learning》 Michael Nielsen