PINN物理信息网络 | 物理信息化径向基网络（PIRBN）：一种用于求解非线性偏微分方程的局部逼近神经网络

基于对PINNs在训练后倾向于局部逼近的观察，我们提出了物理信息化径向基网络(PIRBN)，能够有效解决受高频特征和不良计算域影响的PDEs。同时，我们证明了通过足够宽的神经网络训练PIRBN可以收敛到高斯过程，并通过NTK理论研究了PIRBN的训练动态。针对初始化策略、样本点大小和RBF神经元的选择，提出的PIRBN进行了详细的研究。在数值示例中，四个具有高频特征和不良计算域的挑战性PDEs被用来测试所提出的PIRBN相对于原始PINN的性能。与PINN相比，所提出的PIRBN在解决PDEs方面更为有效，这些PDEs展示了高频特征或受不良计算域影响。此外，最先进的PINN技术，例如适应性采样策略和迁移学习，可以直接集成到所提出的PIRBN中。

我们注意到所提出的PIRBN与基于RBFs的配点方法有一些共性，如RBF配点、径向点插值方法(RPIM)和径向点插值配点方法(RPICM)。尽管使用了RBFs，PIRBN和基于RBFs的配点方法在本质上是不同的。首先，这些基于RBFs的配点方法直接通过配点方法实现PDEs，因此可能面临稳定性(如果使用局部节点)和可伸缩性问题(如果使用域中的所有节点)。实际上，为了克服这些问题，仍在做出巨大努力。所提出的PIRBN通过一个功能性(L2范数类型损失函数)控制PDE的解，从而消除负面性并提高解的稳定性。然后，RBF配点方法的准确性严重依赖于形状参数，这些形状参数需要小心调整以获得所需的准确度。更重要的是，这种形状参数调整是问题依赖的，因此是一个相当具有挑战性的任务。在所提出的PIRBN中，这些形状参数可以在训练期间自动修改。最后，所提出的PIRBN很好地利用了RBFs和神经网络的特点。因此，所提出的PIRBN在解决PDEs，特别是在解决强非线性问题和高耦合多物理场问题方面，比基于RBFs的配点方法更强大、表现更好。

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