PyTorch的学习笔记02 - backward( )函数_pytorch backward函数

0.4.0版教程。

20191126更新：添加了关于CopySlices backwar函数的讨论。

 

• 创建一个Tensor时，使用requires_grad参数指定是否记录对其的操作，以便之后利用backward()方法进行梯度求解。
• 一个Tensor的requires_grad成员保存该Tensor是否记录操作用于计算梯度。
• 可利用requires_grad_()方法修改Tensor的requires_grad属性（in place）。
• 通过运算创建的Tensor，会自动被赋值grad_fn属性。该属性表示梯度函数。
• 最后得到的Tensor执行自身的backward()函数，此时之前参与运算并生成当前Tensor的叶子（leaf）Tensor将会保存其梯度在叶子Tensor的grad属性中。backward()函数接受参数，表示在特定位置求梯度值，该参数应和调用backward()函数的Tensor的维度相同，或者是可broadcast的维度。默认为torch.tensor(1)，也就是在当前梯度为标量1的位置求叶子Tensor的梯度。
• 默认同一个运算得到的Tensor仅能进行一次backward()。再次运算得到的Tesnor，可以再次进行backward()。
• 当多个Tensor从相同的源Tensor运算得到，这些运算得到的Tensor的backwards()方法将向源Tensor的grad属性中进行数值累加。

 

上述关于梯度方面PyTorch提供的功能，感觉上都是针对神经网络的需求设计的，文档中给出的定义和解释很抽象，需要实例加以说明。

首先说一下叶子Tensor，这是我为了方便理解起的名字。例如我们的模型是这样的：

 

• 首先创建Tensor x1，w1和w2。
• x2 = x1 * w1。
• y = x2 * w2。
• L = Y - y。

只要维度相协调，上述各个Tensor目前不必指定维度。实际上上述模型可以看做一个非常简单的神经网络，如下图所示。

 

x1，x2是神经网络的中间层，y是我们的输出层，Y是真值，L是我们的loss。w1和w2是对应于x1和x2的weight。通常我们会把x1，x2，y，w1和w2使用PyTorch的Tensor进行表示。L也可以用Tensor表示，可能与其他Tensor的维度都不同。在上述模型中，x1，w1和w2就是我所谓的叶子Tensor。

在PyTorch中，我们把上述模型描述出来。

 

import torch
import numpy as np
 
x1 = torch.from_numpy( 2*np.ones((2, 2), dtype=np.float32) )
x1.requires_grad_(True)
w1 = torch.from_numpy( 5*np.ones((2, 2), dtype=np.float32) )
w1.requires_grad_(True)
print("x1 =", x1)
print("w1 =", w1)
 
x2 = x1 * w1
w2 = torch.from_numpy( 6*np.ones((2,2), dtype=np.float32) )
w2.requires_grad_(True)
print("x2 =", x2)
print("w2 =", w2)
 
y = x2 * w2
Y = torch.from_numpy( 10*np.ones((2,2), dtype=np.float32) )
print("y =", y)
print("Y =", Y)
 
L = Y - y
print("L =", L)

 

为了更明确说明BP的过程，写出该模型的数学表达式和梯度表达式

 

 

 

 

事实上Tensor应当写成加粗直体，我这里简化为都是不加粗斜体了，请各位海涵。

式(1), (2)和(3)即是我们关心的梯度，在PyTorch的帮助下，这一求解过程变为

 

L.backward(torch.ones(2, 2, dtype=torch.float))

 

当然，此时backward()函数可不提供任何参数。

 

计算得出的梯度值分别为x1.grad，w1.grad和w2.grad。其他Tensor的grad属性是None。

此时直接再次调用L的backward()方法将导致错误，需要重新计算L，才能再次调用它的backward()方法。

backward()函数的第一个参数，在PyTorch的文档上解释的比较晦涩。该参数名为gradient，我理解这个参数在我上述的模型上表示

 

 

也就是element全为1的Tensor。为何这样设计，这样设计的意图可以理解为当我们不知道L关于y的函数表示，但知道L关于y的梯度时，我们可以通过

 

y.backward(-1 * torch.ones(2, 2, dtype=torch.float))

 

来完成BP过程。注意，y.backward()的第一个参数，即是L关于y的梯度的值。

 

 

通常情况下对于L为标量的情况，使用L.backward()时，不指定任何参数，PyTorch会使用维度相协调的全1Tensor作为参数。对于L为高于1维的情况，需要明确指定backward()的第一个参数。

 

执行完L.backward()函数后，x1，w1和w2的grad属性会得到更新。更新是“累加”的。所谓累加，举例说明，即当有另外一种定义好的L2是通过对x1的运算得到的，那么L2.backward()执行后梯度结果将累加到x1.grad中。

 

对于叶子Tensor的定义，实例中使用的古怪定义方法是有原因的。为了获得可以计算梯度的x1，需要在定义x1时就使其成为叶子，否则对于非叶子的x1执行L.backwar()后，x1.grad将为None。例如将实例中的x1定义改为

 

x1 = 2 * torch.ones(2, 2, requires_grad=True, dtype=torch.float)

 

那么，x1则不是一个叶子。应为在创建x1时，表达式中的torch.ones()的返回值才是叶子。

 

另外需要注意使用NumPy创建Torch的Tensor时，各自默认的数据格式（dtype）和程序打算使用的数据格式要统一好，否则Torch会报错。参考torch.dtype。利用NumPy创建好Tensor后，要对需要计算梯度的叶子调用它们的requires_grad_()方法以将它们的requires_grad属性配置好。

完整的实例代码如下

 

import torch
import numpy as np
 
x1 = torch.from_numpy( 2*np.ones((2, 2), dtype=np.float32) )
x1.requires_grad_(True)
w1 = torch.from_numpy( 5*np.ones((2, 2), dtype=np.float32) )
w1.requires_grad_(True)
print("x1 =", x1)
print("w1 =", w1)
 
x2 = x1 * w1
w2 = torch.from_numpy( 6*np.ones((2,2), dtype=np.float32) )
w2.requires_grad_(True)
print("x2 =", x2)
print("w2 =", w2)
 
y = x2 * w2
Y = torch.from_numpy( 10*np.ones((2,2), dtype=np.float32) )
print("y =", y)
print("Y =", Y)
 
L = Y - y
print("L =", L)
 
L.backward(torch.ones(2, 2, dtype=torch.float))
 
print("x1.grad =", x1.grad)
print("w1.grad =", w1.grad)
print("w2.grad =", w2.grad)
 
L2 = x1 * x1
 
L2.backward(torch.ones(2, 2, dtype=torch.float))
print("x1.grad =", x1.grad)

20191126更新

添加一个细节。在PyTorch中对Tensor元素直接赋值会产生CopySlices backward函数，也就是说，对Tensor元素的赋值操作也是可以BP的，但是有一定条件。请参考下面代码，注意，当前PyTorch版本已经更新至1.3.0。

import torch
 
def trigger_error():
    print("trigger_error")
    
    # Tensors.
    a = torch.tensor([1.0], requires_grad=True)
    b = torch.zeros((2), requires_grad=True)
 
    # CopySlices.
    b[0] = a*2
    b[1] = a*3
 
    print("b.grad_fn = {}. ".format(b.grad_fn))
 
    # Trigger an error.
    b.backward(torch.ones((2)))
 
    print("a.grad = {}. ".format( a.grad ))
 
if __name__ == "__main__":
    trigger_error()

运行上述代码，将会触发如下错误

trigger_error
b.grad_fn = <CopySlices object at 0x7f07121dceb8>. 
Traceback (most recent call last):
  File "BackwardError.py", line 60, in <module>
    trigger_error()
  File "BackwardError.py", line 17, in trigger_error
    b.backward(torch.ones((2)))
  File "/home/yaoyu/p3pt/lib/python3.6/site-packages/torch/tensor.py", line 118, in backward
    torch.autograd.backward(self, gradient, retain_graph, create_graph)
  File "/home/yaoyu/p3pt/lib/python3.6/site-packages/torch/autograd/__init__.py", line 93, in backward
    allow_unreachable=True)  # allow_unreachable flag
RuntimeError: leaf variable has been moved into the graph interior

这表示leaf节点没有出现在computation graph的正确位置，原因是我们在创建b时，使其requires_grad = True。这样在进行诸如b[0] = a * 2 这样的操作时，b不再是leaf了。修正方法有两种，第一种如果我们只有确定个数的元素需要组成一个新的tensor，可以使用torch.cat()函数，例如

def concatenate():
    print("concatenate")
 
    # A tensor.
    a = torch.tensor([1.0], requires_grad=True)
 
    # Concatenate.
    b = torch.cat((a*2, a*3))
 
    print("b.grad_fn = {}. ".format(b.grad_fn))
 
    # Trigger an error.
    b.backward(torch.ones((2)))
 
    print("a.grad = {}. ".format( a.grad ))

第二种是当我们不知道元素个数，或者元素个数太多手写cat太累，可以在创建b时指定requires_grad = False。例如

def not_requires_grad():
    print("not_requires_grad")
 
    # Tensors.
    a = torch.tensor([1.0], requires_grad=True)
    b = torch.zeros((2), requires_grad=False)
 
    # CopySlices.
    b[0] = a*2
    b[1] = a*3
 
    print("b.grad_fn = {}. ".format(b.grad_fn))
 
    # Trigger an error.
    b.backward(torch.ones((2)))
 
    print("a.grad = {}. ".format( a.grad ))

运行上述两个函数，将得到正确的结果。结果如下：

concatenate
b.grad_fn = <CatBackward object at 0x7f07121dceb8>. 
a.grad = tensor([5.]). 
===
not_requires_grad
b.grad_fn = <CopySlices object at 0x7f07121dceb8>. 
a.grad = tensor([5.]). 

参考文献：https://discuss.pytorch.org/t/leaf-variable-has-been-moved-into-the-graph-interior/18679