[C++ 系列] 79. 基于4阶B树详解R-BTree红黑树_b树 四阶

0. 前言

在学习红黑树前，个人建议先学习下 B 树，尤其需要了解 4 阶 B 树的添加、删除，在本博文后续讲解中会大量使用，可参考[C++ 系列] 79. 详解B树搜索、添加、删除

1. 红黑树的概念

红黑树也是一种自平衡二叉搜索树，以前也叫做平衡二叉 B 树 ( Stmmertic Binary B-tree )。

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩
倍**，因而是接近平衡的。

1.1 疑问：红黑树如何保持平衡呢？

红黑树没有 AVL 树中 平衡因子 的概念，那么它是如何保持平衡的呢？

• 在下面学习完红黑树插入、删除再进行解答。

1.2 常见的红黑树

一颗标标准准的 红黑树 结构如下图所示：

2. 红黑树的构成性质

2.1 红黑树的5条重要性质

若一颗树是 红黑树 的话一定要满足如下 5 条特点：

在这的叶子节点是想象出来的 空节点，即上图的 null 黑色 节点，并不为上图的25、74、78、86、90这几个节点。

2.2 请问下面这棵树是 红黑树 吗？

眨眼一看好像满足红黑树的各项性质，所以节点仅有红、黑两种颜色，且根节点为黑，任一路径上没有两个相邻的红色节点，并且从根节点到达叶子节点的黑色数量都为 3，它好像就是一颗红黑树？

在这的叶子节点是想象出来的 空节点，即上图的 null 黑色 节点，故能够发现：55–>38–>null(到达叶子节点) 仅经过了 2 个黑色节点，二其它线路都为 3 个黑色节点，故其不为 红黑树。

网上技术博文大批量的犯这个错误…在此特别之处谨记。

3. 红黑树与4阶B树的关系

3.1 红黑树与4阶B树的等价变换

将下图左边的 红黑树 红色节点上升一层得到右边的这棵树？

仔细观察下，右边这棵树不就是颗 B 树吗？并且还是个 4 阶 B 树，将其转换为更加形象的样子，见右下图：

• 红黑树 和 4 阶 B 树（2-3-4树）具有等价性
• BLACK 节点与它的 RED 子节点融合在一起，形成1个B树节点
• 红黑树的 BLACK 节点个数 与 4阶B树的节点总个数相等
• 网上有些教程：用 2-3树 与 红黑树 进行类比，这是极其不严谨的，2-3树 并不能完美匹配 红黑树 的所有情况

注意：后面展示的红黑树都会省略 NULL 节点

3.2 红黑树 VS 2-3-4树

如果上图最底层的 BLACK 节点是不存在的，则整颗 B 树只有 1 个节点，而且是超级节点。

4. 相关英文单词

17 就是 33 的兄弟节点，共同的父节点为 25。
17 与 33 的叔父节点就是 46，50 的叔父节点就是 25。
17、33、50 的祖父节点为 38。

5. 红黑树的添加

5.1 添加前准备

现在看到红黑树一定要做到心中有4阶 B 树，会很大方便理解，并且下面的讲解也是依据 B 树的转化进行。

已知：

• B树中，新元素必定是添加到叶子节点中
• 4 阶 B 树所有节点的元素个数 x 都符合 1 ≤ x ≤ 3
• 建议新添加的节点默认为 RED，这样能够让红黑树的性质尽快满足（性质 1、2、3、5 都满足，性质 4 不一定）
• 如果添加的是根节点，染成 BLACK 即可

5.2 添加的所有情况

添加新节点只可能加到最后一层的叶子节点上，那么最后一层的叶子节点有多少种情况呢？

其实上图已经给出了所有情况：黑、红黑、黑红、红黑红，由于是 4 阶 B 树，故出现且仅出现这些情况。

那么在这些叶子节点中进行插入，排除一些不能插入的错误情况类似于 25 虽然在 B 树中为叶子节点，但在 红黑树 概念中其有左右孩子了，故将其排除掉。同理可排除其他不可插入情况，得到如下的 12 种插入情况：

其中有 4 种情况满足红黑树的性质 4，其父节点 BLACK，同样也满足 4 阶 B 树的性质，因此不需要做任何额外处理，见下图所示：

其中有 8 种情况不满足红黑树的性质 4：parent 为 RED（Double Red），其中前 4 种属于 B 树节点上溢的情况，见下图所示：

5.3 修复性质4–LL\RR

其它 6 种情况暂且不论，先看看下图这两种情况：

即 50–>52、72–>60 违背了性质四。首先站在 B 树的角度来思考，52、60 加入必然要成为一个 B 树节点，那么 回想一下 B 树节点是怎么形成的呢？B 树节点是由一个黑色节点与他的红色子节点形成的， 那么在此若 52 想成为 B 树节点，那么 50 就需要变成黑色，并且 46 变成 红色，才能合并到一起变为 B 树节点。

此时会发现，红38–>红46 岂不是两个红色相连了？在这的直观思想是让 红38–>黑50，不就能解决了吗？再仔细观察，这是不是 AVL 树中的 RR 情况，针对 46 进行左旋转，让 50 成为子树的根节点，46 成为子树的子节点，就万事大吉了！

同理，将 72 染成黑色成为 B 树节点，76 需要染成红色，并且现在是 LL 情况，仅需对 76 进行右旋转，让 72 成为子树的根节点，76 成为 72 的子节点。

转换效果图如下图所示：

◼ 判定条件：uncle 不是 RED

1. parent 染成 BLACK，grand 染成 RED
2. grand 进行单旋操作

LL：grand 右旋转
RR：grand 左旋转

5.4 修复性质4–LR\RL

上述两种情况搞定后，再看看下图这两种情况：

有了上面的基础可以知道，46–>50–>48是 RL 情况，76–>72–>74 是 LR 情况。

那么针对46–>50–>48是 RL 情况，就先让 50 做右旋转，再让 46 做左旋转，现在 48 上去成为这颗子树的根节点，那么就需要对 48 将其染为 黑色，左右变成红色。

转换效果图如下图所示：

◼ 判定条件：uncle 不是 RED

1. 自己染成 BLACK，grand 染成 RED
2. 进行双旋操作

LR：parent 左旋转， grand 右旋转
RL：parent 右旋转， grand 左旋转

5.5 如何区分其它的四种情况

判断 uncle 颜色是否为 RED，如果不为 RED 就是上面四种情况，如果为 RED 则为下述 4 种情况。

下面举几个 uncle 的例子，红黑树 如下图所示：

• 10 的 uncle 节点 是 33，为红色
• 48、52 的 uncle 节点是 46 的左孩子为 null，可将 null 视为黑色，故其 uncle 为黑色
• 60、74 的 uncle 节点是 76 的右孩子为 null，可将 null 视为黑色，故其 uncle 为黑色

5.6 修复性质4 – 上溢 – LL

经过上面情况的区分，来看一种新的情况，上溢 – LL，如下图所示：

首先从 B 树角度出发，25、17、33、10 明显产生了上溢情况，因为 4 阶 B 树最多只能存 3 个数据，现在产生了上溢。

解决方法就是跳出最中间的向上合并，然后进行分裂即可。在这 17、25 都算是中间的元素，在这就挑 25 作为中间节点向上合并，因为其颜色刚好搭配，在这不要思考 25 向上合并后的各种情况，比如 38 作为 B 树根节点一定需要变为黑色，而相邻节点变为红色等系列的问题，先来考虑 17–>10、33 小方面的针对 B 树情况进行考虑。

17、33 由于 25 的向上合并，都要变为 B 树节点，在这就需要将其变为黑色。

那么一个小总结就出来了，若是 上溢 – LL 情况，即需要将其父节点、叔父节点均变成黑色即可。

最后来考虑祖父节点 25 的向上合并，本来 38、55 这个位置只有两个节点，现在 25 向上合并，就相当于对 38、55 进行新添加节点 25 的操作，那么就是依然是插入的 12 种情况，将其变成红色配对情况即可，这是一个递归的操作！效果如下图所示：

但若祖父节点 25 持续上溢到根节点的话，并且此时根节点也触发了上溢的条件的话，即下图的情况。此时又需要找中间的元素，在下图中就是 38、55 这两个情况，只需要将根节点转成黑色即可。

这个上溢的 LL 情况，只需要进行染色即可，根本没进行旋转的操作。

◼ 判定条件：uncle 是 RED

1. parent、uncle 染成 BLACK
2. grand 向上合并，并染成 RED，当做是新添加的节点进行处理
3. grand 向上合并时，可能继续发生上溢，若上溢持续到根节点，只需将根节点染成 BLACK 即可。

5.7 修复性质4 – 上溢 – RR

顺理成章的又出来了一种新的情况，上溢 – RR，如下图所示：

有了上面 5.6 的经验，现在的操作就简单很多了。将 36 的祖父节点 25 拿出来染成红色，当做一个新的节点，实行插入操作的向上合并。将 17、33 的父节点、叔父节点染成黑色，此时 17、33 就独立成了一个 B 树节点，其它的都与之前的逻辑一致了。直接看效果图如下：

◼ 判定条件：uncle 是 RED

1. parent、uncle 染成 BLACK
2. grand 向上合并，并染成 RED，当做是新添加的节点进行处理，可能继续发生上溢，若上溢持续到根节点，只需将根节点染成 BLACK 即可。

5.8 修复性质4 – 上溢 – LR

倒数第二种情况了，上溢 – LR，如下图所示

此时 20、17、25、33 依然发生上溢，同理祖父节点 25 需要进行向上合并，叔父节点染成黑色即可。效果图如下：

◼ 判定条件：uncle 是 RED

1. parent、uncle 染成 BLACK
2. grand 向上合并，并染成 RED，当做是新添加的节点进行处理，可能继续发生上溢，若上溢持续到根节点，只需将根节点染成 BLACK 即可。

5.9 修复性质4 – 上溢 – RL

最后一种情况，上溢 – RL，如下图所示：

现在的话道理都是一样的了，直接效果图如下：

◼ 判定条件：uncle 是 RED

1. parent、uncle 染成 BLACK
2. grand 向上合并，并染成 RED，当做是新添加的节点进行处理，可能继续发生上溢，若上溢持续到根节点，只需将根节点染成 BLACK 即可。

6. 红黑树添加元素总结

站在 4 阶 B 树的角度上看，红黑树添加共有 12 种情况，其中 4 种情况符合红黑树定义，不需要进行修复调整，而其余八中情况可分为如下三大情况：

• 若插入节点位置 uncle 不为 RED 的 LL\RR 情况的话，仅需要 parent 染成 BLACK，grand 染成 RED 并将grand 进行对应的单旋操作即可
  LL：grand 右旋转
  RR：grand 左旋转
• 自己染成 BLACK，grand 染成 RED 进行双旋操作即可
  LR：parent 左旋转， grand 右旋转
  RL：parent 右旋转， grand 左旋转
• 若插入节点位置 uncle 为 RED 情况的话，就为上溢的情况，不需要进行旋转，仅染色和向上合并即可。具体为 parent、uncle 染成 BLACK，grand 向上合并，并染成 RED，当做是新添加的节点进行处理，可能继续发生上溢，若上溢持续到根节点，只需将根节点染成 BLACK 即可。

7. 红黑树的删除

同样对比 4 阶 B 树我们知道，在 B 树中真正从内存中被删除的节点元素都在叶子节点中。那么就有下面几种情况。

7.1 删除 – RED节点

红黑树结构图如下：

假如删除红色 17、33、50、72 删除一个或多个的话，对红黑树没有影响，它依然是一颗 红黑树，并且是一颗 4 阶 B 树。

7.2 删除 – BLACK节点

红黑树结构图如下：

有 3 种情况：

1. 拥有 2 个 RED 子节点的 BLACK 节点，在此即 25 节点。25 节点的度为 2， 而在二叉搜索树当中，一定是不可能删除一个度为 2 的节点的，同时一定会找到它的 前驱 / 后继 进行删除。不可能被直接删除，因为会找它的子节点替代删除。因此不用考虑这种情况

2. 拥有 1 个 RED 子节点的 BLACK 节点，在此即 46、76 节点

3. BLACK 叶子节点，在此即 88 节点

因为情况 1 不必考虑，那么删除情况就仅有拥有1个RED子节点的BLACK节点、BLACK 叶子节点这两种情况了。

7.3 删除 – 拥有1个RED子节点的BLACK节点

红黑树结构如下图：

加入现在要删除 46 、76 的情况，那怎么判定是这种情况呢？仔细观察可发现，它是度为 1 的节点，在二叉搜索树中，就需要找到他的子节点进行删除即可，即将 46 删除 并将 55–>50，将 76 删除 并将 80–>72，即效果图如下：

即为：

这样删除明显不符合红黑树的性质啊，如果从 B 树角度出发，将 46、76 进行直接删除，那么 50、72 独立成为 B 树节点，那么 B 树节点一定是黑色的。

◼ 判定条件：用以替代的子节点是 RED

• 将替代的子节点染成 BLACK 即可保持红黑树性质

7.4 删除 – BLACK叶子节点 – sibling(兄弟节点)为BLACK，且有 RED 子节点

红黑树结构图如下：

在这中情况下就是删除 46、88 节点，在 BST 树角度上，就是直接被删除，但在 4 阶 B 树中就发生了下溢，因为 4 阶 B 树保证节点的数据最少要有 1 个，最多为 3 个。在这进行了 88 的删除的话，自然发生下溢情况。

在 B 树中处理下溢情况的方法就是，看看兄弟节点是否能借出一个节点，在这里先考虑能借出节点的三种情况如下图：

通过观察能够发现这三种情况下，它的兄弟节点都有一个红色孩子节点，这样兄弟节点就至少有两个节点了，才能借出一个节点。并且兄弟节点的颜色一定是黑色，如果它的兄弟节点为红色的话，那么这个兄弟节点一定是在 父节点 里面的。我们能够知道如果父节点为红色，那么兄弟节点就不能再为红色，即为黑色，如果父节点为黑色，根据红黑树与 4 阶 B 树等价原则，父节点与他的所有子节点构成一个 B 树节点，那么在 B 树中这个红色兄弟节点是在父节点上的。

就如下如图所示，55 作为父节点怎么可能把节点借出来呢？我们需要借的是左右临近的红色节点。

现在见上图，如果删掉 88，76 兄弟给借红色子节点 78 来处理下溢问题，那么就是 80 作为父节点下去到 88 的位置，在兄弟里面挑一个，尽量挑个居中的作为父节点，即 78 上去作为新的父节点
并且还能够发现上图这个情况其实是从 80–>76–>78 d的 LR 情况，首先对 76 进行左旋转，那么 78 就上去了，再对 78 做右旋转 那么 78 就上去了，80 就下去了，下溢情况调整完毕。

通过旋转之后新的父节点要继承原有父节点的颜色，并且它的左右节点需要变成独立的 B 树节点，那么就需要将其左右节点全部染成黑色。因为 80 旋转下去就它一个，肯定为独立的 B 树节点，76 作为它的兄弟节点也一定为 黑色 并且也是独立的 B 树节点。

到现在，删除 – BLACK叶子节点 – sibling(兄弟节点)为BLACK 的情况这样才算调整完毕，接下来再看几个例子加深理解：

删除 88 节点，现在就是很明显的从 80–>76–>72 的 LL 情况，直接对 80 节点进行右旋转即可。并且旋转过后，76 继承 80 的颜色，并将 76 的左右节点染成黑色。效果图如下：

再来个例子：

删除 88 节点，现在就是很明显的从 80–>76–>72 的 LL 情况，从 80–>76–>78 的 LR 情况，在这就选择 LL 对 直接对 80 节点进行右旋转即可，因为这样只需要旋转一次，而 LR 却要进行两次旋转。并且旋转过后，76 继承 80 的颜色，并将 76 的左右节点染成黑色。效果图如下：

如果按照 LR 来进行两步旋转的话，结构和上面的又不太一致，因为一开始对 76 进行左旋转，78 上去，再对 78 进行右旋转，78 作为新的父节点，80 下去解决下溢问题，再将 78 染成原来的父节点颜色，左右染成黑色即可，效果图如下：

所以红黑树的删除，删完之后可能出现多种树的结构，可能都是满足情况的正确答案。

◼ 判定条件：BLACK 叶子节点被删除后，会导致B树节点下溢（比如删除88），此时如果 sibling 至少有 1 个 RED 子节点

• 进行旋转操作
• 旋转之后的中心节点继承 parent 的颜色
• 旋转之后的左右节点染为 BLACK

7.5 删除 – BLACK叶子节点 – sibling(兄弟节点)为BLACK，没有 RED 子节点

红黑树效果图如下：

依旧删除 88，此时它的兄弟节点没有红色子节点，发生了下溢的情况，那么就需要用到 B 树的 合并 方式来处理下溢的情况了。合并是从父节点 80 下来和 76 合并到一起，那么父节点下来与它的子节点融合到一起成为 B 树节点，此时就需要对父节点染成黑色，将兄弟节点染成红色即可。效果图如下：

如果父节点是黑色的情况呢？如果父节点下来，B 树节点必然产生下溢情况。那么要是父节点旁边出现红色节点呢？是不是就不会产生下溢情况了？

答案是不可能再出现红色节点的，因为删除节点为黑色叶子节点，并且它的兄弟节点仍是黑色节点，此时父节点的 left、right 都已经有所指了，自然不会存在再指向一个红色节点的情况。如下图：

其实这个情况处理很简单，只需要将父节点当做被删除的节点即可，也是一个递归的调用。很类似于处理上溢问题的递归调用。

◼ 判定条件：sibling 没有 1 个 RED 子节点

• 将 sibling 染成 RED、parent 染成 BLACK 即可修复红黑树性质
• 如果 parent 是 BLACK，会导致 parent 也下溢，这时只需要把 parent 当做被删除的节点处理即可

7.6 删除 – BLACK叶子节点 – sibling(兄弟节点)为RED

在此黑色的叶子节点的两种情况已经讲完了，下面来看最后一种情况，红黑树结构图如下：

依旧删除 88，在 B 树中就产生了下溢的情况，还得看 76 能不能借节点，如果能借就借一个节点，如果不能借就让父节点下来合并解决下溢问题。但是在这就比较麻烦，现在 88 的兄弟是 55 ，55 的儿子才是 76，就多跨了一层关系，现在为了解决这个问题，我们强制让 76 做 88 的兄弟，那么就又回到了黑兄弟的情况了。

那么思想就很简单了，就是单纯的让 80 指向 76 就好了。见上图可知道可以通过 LL 情况实现，让 80 进行右旋转，此时 55 上去成为新的父节点，80 指向 55 的右孩子 76 节点，而 55 的右边指向 80 。再将删除节点的兄弟节点即 55 节点染成黑色，父节点染成红色即可，效果图如下：

于是又回到了兄弟节点为黑色的情况，即 7.5 的情况。如果将 88 删掉，产生下溢，父节点向下合并，成为 B 树节点，即将 80 染黑，76 染红即可，效果图如下：

再来举一个例子：

依旧删除 88 节点，需要让 80 的左边指向 76，并将父节点染成红色，兄弟节点染成黑色：

回到兄弟节点为黑色的情况了，按照 80–>76–>78 进行 LR 两步旋转的话，一开始对 76 进行左旋转，78 上去，再对 78 进行右旋转，78 作为新的父节点，80 下去解决下溢问题，再将 78 染成原来的父节点颜色，左右染成黑色即可，效果图如下：

◼ 判定条件：sibling 是 RED

• sibling 染成 BLACK，parent 染成 RED，进行旋转
• 于是又回到 sibling 是 BLACK 的情况

8. 红黑树删除元素总结

与 BST 树一致真正删除的节点肯定是删除的叶子节点，那么以待删除节点的颜色来考虑，若为红色，则直接删除即可，不需要作任何调整，若为黑色，则分以下三种情况：

1. 拥有 2 个 RED 子节点的 BLACK 节点，不可能被直接删除，因为会找它的子节点替代删除。因此不用考虑这种情况

2. 拥有 1 个 RED 子节点的 BLACK 节点

3. BLACK 叶子节点

于是就只有情况2、3 需要我们来讨论，即有：

1. 删除 – 拥有 1 个 RED 子节点的 BLACK 节点

• 判定条件：用以替代的子节点是 RED
• 解决方式：将替代的子节点染成 BLACK 即可保持红黑树性质

2. 删除 – BLACK 叶子节点 – sibling为 BLACK

• 判定条件：BLACK 叶子节点被删除后，会导致B树节点下溢（比如删除88），并且如果 sibling 至少有 1 个 RED 子节点
• 解决方式：进行旋转操作，旋转之后的中心节点继承 parent 的颜色，旋转之后的左右节点染为 BLACK

3. 删除 – BLACK 叶子节点 – sibling为 BLACK

• 判定条件：sibling 没有 1 个 RED 子节点
• 解决方式： 将 sibling 染成 RED、parent 染成 BLACK 即可修复红黑树性质，处理后如果 parent 是 BLACK会导致 parent 也下溢，这时只需要把 parent 当做被删除的节点调用递归的删除即可

4. 删除 – BLACK叶子节点 – sibling为RED

• 判定条件：sibling 是 RED
• 解决方式： 将 sibling 染成 BLACK，parent 染成 RED 进行旋转，于是又回到 sibling 是 BLACK 的情况

9. 答疑：红黑树的平衡

最初遗留的困惑：为何那5条性质，就能保证红黑树是平衡的？
回答：那5条性质，可以保证 红黑树 等价于 4阶B树，在这就不证明了，有兴趣coder可自行证明，或者查阅相关资料

• 相比AVL树，红黑树的平衡标准比较宽松：没有一条路径会大于其他路径的2倍，因为要保证每条路径下黑色节点个数一致，那么最短路径就是全黑节点，最长路径就是一个黑紧接着一个红，这样最长路径的节点个数也就只能不超过最短路径的节点个数了
• 是一种弱平衡、黑高度平衡
• 红黑树的最大高度是 $2\ast log(N+1)$，依然是 $O(logN)$ 级别

10. 平均时间复杂度

◼ 搜索：$O(logN)$

◼ 添加：$O(logN)$，$O(1)$ 次的旋转操作

◼ 删除：$O(logN)$，$O(1)$ 次的旋转操作

11. AVL树 vs 红黑树

AVL树：

• 平衡标准比较严格：每个左右子树的高度差不超过1
• 最大高度是 $1.44\ast lo{g}_{2}N+2-1.328$（100W个节点，AVL 树最大树高28）
• 搜索、添加、删除都是 $O(lo{g}_{2}N)$ 复杂度，其中添加仅需 $O(1)$ 次旋转调整、删除最多需要 $O(lo{g}_{2}N)$ 次旋转调整

红黑树：

• 平衡标准比较宽松：没有一条路径会大于其他路径的2倍

• 最大高度是 $2\ast lo{g}_2(n+1)$（ 100W个节点，红黑树最大树高40）

• 搜索、添加、删除都是 $O(lo{g}_{2}N)$复杂度，其中添加、删除都仅需 $O(1)$次旋转调整

• 搜索的次数远远大于插入和删除，选择 AVL 树；搜索、插入、删除次数几乎差不多，选择红黑树

• 相对于 AVL树来说，红黑树牺牲了部分平衡性以换取插入/删除操作时少量的旋转操作，整体来说性能要优于 AVL 树

• 红黑树的平均统计性能优于 AVL 树，实际应用中更多选择使用红黑树