动态规划：01背包理论基础 二维dp

1.确定dp数组以及下标的含义

对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。[0-i]物品任取放到容量为j的背包中得到的最大价值为dp[i][j]

2.递推公式

dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

那么可以有两个方向推出来dp[i][j]，

• 不放物品i：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以被背包内的价值依然和前面相同。)
• 放物品i：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值

所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

3.dp数组如何初始化

首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：

在看其他情况。

状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。

dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。

当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。

代码初始化如下：

for (int j = 0 ; j < weight[0]; j++) {  // 当然这一步，如果把dp数组预先初始化为0了，这一步就可以省略，但很多同学应该没有想清楚这一点。
    dp[0][j] = 0;
}
// 正序遍历
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
}
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此时dp数组初始化情况如图所示：

dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？

其实从递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由左上方数值推导出来了，那么 其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。

初始-1，初始-2，初始100，都可以！但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0，更方便一些。

如图：

最后初始化代码如下:

// 初始化 dp
vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
}
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4. 确定遍历顺序

先遍历物品后遍历背包和先遍历背包后遍历物品都可以，这里采用先遍历物品后遍历背包

// weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

    }
}
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5.推导dp数组

理解：

关于二维数组01背包问题：
dp[i][j]的含义
[0-i]物品任取放到容量为j的背包中得到的最大价值为dp[i][j]
当不放物品i时：dp[i-1][j]
当放物品i时：dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])
当物品i放不进去时，不放物品i
也就是j小于当前要放的i的物品重量时，dp[i][j] = dp[i - 1][j];
当物品i能放进去时，放物品i，dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
看看放进去物品i和不放物品i时候，得到的最大价值哪个大就取哪一个
关于二维dp数组的初始化：
当背包容量为0时，所有物品都放不进去，因此第一列初始化为0
当只有物品0的时候，背包容量分别为1，2，3，4时，可以放下物品0，因此初始化第一个物品的价值

class Solution {
public:
	void test() {
		vector<int> weight = { 1,3,4 };
		vector<int> value = { 15,20,30 };
		int bagweight = 4;
		//二维数组
		vector<vector<int>> dp(weight.size(),vector<int>(bagweight+1,0));

		//初始化
		for (int j = 1; j <= bagweight;j++) {
			dp[0][j] = value[0];
		}

		//weight数组的大小，就是物品个数
		//j是背包重量，i表示从0-i取物品
		for (int i = 1; i < weight.size(); i++) {
			for (int j = weight[0]; j <= bagweight;j++) {
				if (j < weight[i]) {
					dp[i][j] = dp[i - 1][j];
					//cout << dp[i][j] << " ";
				}
				else {
					dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
					//cout << dp[i][j] <<" ";
				}
			}
			//cout << endl;
		}
		cout << dp[weight.size()-1][bagweight] << endl;
	}
};

int main() {
	Solution ss;
	ss.test();
	return 0;
}
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学习自：代码随想录。