LeetCode算法题解（动态规划）|LeetCode647. 回文子串、LeetCode516. 最长回文子序列_leetcode 回文子序列

一、LeetCode647. 回文子串

题目链接：647. 回文子串

题目描述：

给你一个字符串 s ，请你统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目。

回文字符串 是正着读和倒过来读一样的字符串。

子字符串 是字符串中的由连续字符组成的一个序列。

具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。

示例 1：

输入：s = "abc"
输出：3
解释：三个回文子串: "a", "b", "c"

示例 2：

输入：s = "aaa"
输出：6
解释：6个回文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa"

提示：

• 1 <= s.length <= 1000
• s 由小写英文字母组成

算法分析：

定义dp数组及下标含义：

创建一个布尔类型的二维dp数组，dp[i][j]表示下标i到j的字符串是否是回文字符串。

递推公式：

如果s[i] != s[j]，那么从下标i到j的字符串不是回文字符串，即dp[i][j] = false。

如果s[i] == s[j]，那么dp[i][j]可以从三个方向推出来：

1、i == j 时，就一个字符，是回文串。

2、j - i = 1时，就是两个相同字符，例如aa，也是回文串。

3、j - i > 1时，就要判断从下标i+1到下标j-1的字符串是否是回文串了（也就是判断ij两端字符内部的字符串是否是回文串），即dp[i][j]=dp[i+1][j-1]。

初始化：

dp数组每个元素都需先初始化成false。

遍历顺序：

根据递推公式，公式里dp[i][j]可能会由dp[i+1][j-1]推出来，也就是说处理上面之前就需先处理下面，处理左边右边之前先需处理左边，所以i是倒叙遍历，j是正序遍历，而根据dp的定义j是大于等于i的，所以遍历j的时候从j=i开始遍历。

打印dp数组进行验证。

代码如下：

class Solution {
    public int countSubstrings(String s) {
        int len = s.length();
        boolean[][] dp = new boolean[len][len];//字符串i到j是否是回文串
        int sum = 0;
        for(int i = len - 1; i >= 0; i--) {
            char a = s.charAt(i);
            for(int j = i; j < len; j++) {
                if(s.charAt(j) == a) {//当字符ij相等时
                    if(j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1]) {//字符串长度再两个字符以内的情况或者内部字符串是回文的情况下，这个字符串都是回文字符串
                        dp[i][j] = true;
                        sum++;
                    } 
                }
            }
        }
        // for(int i = 0; i < len; i++) {
        //     for(int j = 0; j < len; j++) {
        //         System.out.print(dp[i][j] + " ");
        //     }
        //     System.out.println();
        // }
        return sum;
    }
}

二、LeetCode516. 最长回文子序列

题目链接：516. 最长回文子序列

题目描述：

给你一个字符串 s ，找出其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。

子序列定义为：不改变剩余字符顺序的情况下，删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。

示例 1：

输入：s = "bbbab"
输出：4
解释：一个可能的最长回文子序列为 "bbbb" 。

示例 2：

输入：s = "cbbd"
输出：2
解释：一个可能的最长回文子序列为 "bb" 。

提示：

• 1 <= s.length <= 1000
• s 仅由小写英文字母组成

算法分析：

定义dp数组及下标含义：

dp[i][j]表示从下表i到j的子串中最长回文子串的长度。

递推公式：

如果s[i]==s[j]，那么有三种情况：

1、若j-i == 0，即子串只有一个字符，那么最长回文子串的长度为1，dp[i][j]=1;

2、若j-i ==1，即子串只有相等的两个字符，那么最长回文子串的长度为2，dp[i][j]=2;

3、若j-i > 1，那么dp[i][j] = dp[i+1][j-1]+2，即i到j的最长回文子串长度等于其内部（不包含两端）最长回文子串的长度加2。

如果s[i] != s[j] ，那么dp[i][j]可以有两个方向推导出来：

1、删掉左端的i字符串，那么i到j的最长回文子串长度就是i+1到j的最长回文子串长度，即dp[i][j]=dp[i+1][j];

2、删掉右端的j字符，那么i到j的最长回文子串长度就是i到j-1的最长回文子串长度，即dp[i][j]=dp[i][j-1]；

初始化：

dp数组所有元素初始化为0。

遍历顺序：

根据递推公式中，dp[i][j]可能会有dp[i+1][j-1]推出来，所以需要先处理大的i和小的j，也即倒叙遍历i，正序遍历j，而根据dp数组的定义i是字符串的左区间，j是右区间，所以j需要大于等于0，也即j从j=i开始向后遍历。

打印dp数组进行验证。

代码如下：

class Solution {
    public int longestPalindromeSubseq(String s) {
        int len = s.length();
        int[][] dp = new int[len][len];//dp[i][j]表示从下表i到j的字符串中最长回文串的长度
        for(int i = len - 1; i >= 0; i--) {
            char a = s.charAt(i);
            for(int j = i; j < len; j++) {
                if(s.charAt(j) == a) {//如果ij相等，分三种情况
                    if(j - i == 0) dp[i][j] = 1;//i到j的字符串长度为1，那么只有一个字符，最长回文串长度为1
                    else if(j - i == 1) dp[i][j] = 2;//i到j的字符串长度为2，只有两个相等的字符，最长回文长度为2
                    else dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2;//i到j的字符串长度大于2，那么i到j的最长回文长度就等于其内部最长回文子串长度加2
                }else{//如果不相等，删掉一边的字符，两种情况取最大值
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i+1][j],dp[i][j-1]);
                }
            }
        }
        // for(int i = 0; i < len; i++) {
        //     for(int j = 0; j < len; j++) {
        //         System.out.print(dp[i][j] + " ");
        //     }
        //     System.out.println();
        // }
        return dp[0][len - 1];
 
    }
}

总结

这两道题都是回文子串问题，不过第一个是求回文子串的个数，第二个是求最长回文子串的长度。